Encontré esta pregunta en un examen de mecánica cuántica:
¿Cuál es la interpretación física de la ecuación de continuidad $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0$ ? Aquí $\rho(x,t)$ es la densidad de probabilidad y $j(x,t)$ es la corriente de probabilidad.
Supongo que quieren una frase como "la probabilidad se conserva". Pero la verdad es que no lo entiendo. ¿Puede alguien ayudarme? ¿Cuál es la frase que buscan y por qué? Muchas gracias.
La ecuación de continuidad en 3 dimensiones es $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}·\vec{j}=0$$ donde el segundo término es la divergencia de $\vec{j}$ . Integrando esta ecuación en un volumen fijo $V$ cuyo límite es $\partial V$ y aplicando el teorema de divergencia obtenemos la forma integral de la ecuación de continuidad: $$\frac{d}{dt}\iiint\limits_{V}{\rho dV} + \iint\limits_{\partial V}{\vec{j}·\vec{dS}} =0$$ donde la integral de superficie es sobre la superficie cerrada $\partial V$ con $\vec{dS}$ definido como apuntando normalmente hacia fuera. Esta ecuación establece que la tasa de cambio temporal de la probabilidad dentro del volumen V es igual al flujo de probabilidad que entra en el volumen V a través de la frontera $\partial V$ . Se trata de una declaración de conservación de la probabilidad.
En realidad tienes razón, se deriva de la "conservación" de la probabilidad, o del hecho de que la probabilidad suma 1. Es literalmente la ecuación que dice si $\rho$ cambios, entonces eso debe ser debido a $j$ .
Consideremos la versión integral de esta ecuación. En 3D la derivada espacial es una divergencia,
$$\int \left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot j\right] dV$$ $$\frac{\partial P}{\partial t} = - \oint j \cdot dA$$
La tasa de cambio temporal de la probabilidad en un área es igual a la cantidad de probabilidad que "abandona" el área en cualquier dirección (a través de la superficie que define el área).
De hecho, es la misma que la ecuación de continuidad de forma diferencial en fluidos, carga (electromagnetismo), calor, etc.
En mi experiencia, este punto no es demasiado sutil, pero a menudo sólo se expresa parcialmente en las conversaciones populares. Todas las respuestas actuales son "correctas pero no completas", como le gustaba decir a Einstein. ;)
Vale, una ecuación de continuidad implica una ley de conservación, claro, pero implica algo mucho más fuerte. Implica una local ley de conservación. La diferencia entre ambas la explica maravillosamente Griffiths en su libro Electrodinámica, en el capítulo $8$ que tomaré prestado. Supongamos que una cantidad, digamos la carga eléctrica, se conserva. Dada esta información, se puede imaginar que $5$ Coulomb de carga desaparece de repente en Nueva York y $5$ El culombio de carga aparece de repente en Las Vegas. Esto es perfectamente coherente con la conservación de la carga porque la cantidad total de carga permanece inalterada. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell implican una ley de conservación de la carga mucho más estricta. En concreto, para que una carga desaparezca en Nueva York y reaparezca en Las Vegas, tendría que viajar en el espacio desde Nueva York hasta Las Vegas. Esto es la conservación local de la carga. Una ecuación de continuidad implica conservación local de la carga, no sólo global.
Pasemos ahora a la ecuación de continuidad de la densidad de probabilidad en mecánica cuántica. Como toda ecuación de continuidad, implica la conservación local de la probabilidad. Pero es importante preguntarse por qué. La unitariedad de la mecánica cuántica que implica la simetría temporal traslacional del universo (véase el teorema de Wigner) dice que la probabilidad en mecánica cuántica se conserva. Sin embargo, esto sólo implica la conservación global de la probabilidad. Y puesto que la ecuación de Schrödinger es simplemente otra forma de decir que la evolución de un estado cuántico es unitaria, tampoco debería implicar nada más fuerte. Entonces, ¿por qué obtenemos conservación local para la probabilidad utilizando la ecuación de Schrödinger? Pues porque introducimos de contrabando una forma específica del Hamiltoniano. En particular, solemos considerar un Hamiltoniano de la forma $\hat{H} = \hat{p}^2/2m + V(\hat{x})$ . Este tipo de Hamiltoniano representa interacciones que son local en base a la posición . Esta es la clave de por qué obtenemos una ley de conservación local para la probabilidad en la base de posición. Por ejemplo, no se obtendría una ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad en la base del momento porque las interacciones no son locales en el momento.
Así que, para resumir, la ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad en la base de posición implica que la probabilidad se conserva localmente en la base de posición, lo cual se debe a que el Hamiltoniano Hermitiano que gobierna la evolución temporal unitaria de un estado se toma como local en la base de posición.
Me gustaría añadir algunas precisiones sobre la respuesta anterior.
La Ecuación de Continuidad aparece en muchas áreas de la Física; por ejemplo, la misma ecuación aparece en Electrodinámica, Mecánica Cuántica, Dinámica de Fluidos y Conducción de Calor pero con diferentes interpretaciones físicas de $\rho$ y $\boldsymbol j$ . En efecto, se trata de una forma matemática de conservación de la carga, la probabilidad, la masa o la energía (respectivamente en los ámbitos mencionados). Lo has escrito en una dimensión pero su forma más general en tres dimensiones es $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\boldsymbol j=0\tag{1}$$ Veamos primero esta ecuación a la luz de la Electrodinámica. Aquí, $\rho(\textbf r,t)$ es la densidad de carga, es decir $\rho(\textbf r,t) dV$ denota la cantidad de carga presente en un volumen infinitesimal $dV$ alrededor del punto $\textbf r$ a la vez $t$ . $\textbf j$ es la densidad de corriente volumétrica que se define como "carga que fluye por unidad de tiempo por unidad de superficie mantenida perpendicular al flujo"; así, si la velocidad de la carga es $\textbf v$ entonces, en unidad de tiempo, el volumen recorrido es $v$ y así $\textbf j=\rho\textbf v$ . La ecuación $(1)$ también puede escribirse como $$\nabla\cdot\textbf j=-\frac{\partial \rho}{\partial t}\Rightarrow \int_V \nabla\cdot\textbf j\,dV=-\frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho \,dV\tag{2}$$ La interpretación física de la divergencia de un vector es que, su integral sobre un volumen cerrado da el flujo neto hacia fuera del vector a través de toda la superficie cerrada del volumen (de acuerdo con el Teorema de Divergencia de Gauss). En este caso, la carga se conserva. Por lo tanto, si la carga fluye fuera de un volumen cerrado, entonces debe ser a expensas de la carga en su interior; en otras palabras, el flujo neto hacia el exterior de la densidad de corriente del volumen a través de la superficie del volumen es igual a la tasa de disminución de la densidad de carga en el interior del volumen. Esta es la interpretación física de la Ecuación de Continuidad, que es evidentemente una manifestación de la conservación de la carga.
En el libro "Introducción a la electrodinámica" (4ª edición, capítulo 8), de David J. Griffiths, hay un hermoso debate al respecto.
En Mecánica Cuántica, hablamos en términos de probabilidades, lo que, en mi opinión, no es fácil de "sentir" a primera vista. Ahora que conoces el significado físico de la Ecuación de Continuidad en el contexto de las cargas, que es fácil de imaginar intuitivamente, puedes entender la misma ecuación a la luz de la Mecánica Cuántica con facilidad. En Electrodinámica, la carga fluye, pero aquí lo que "fluye" es la "probabilidad" (¡esa es la extraña naturaleza de la Mecánica Cuántica!). $\rho(\textbf r,t)=\Psi^*\Psi$ es la densidad de probabilidad que se interpreta como: la probabilidad de que una partícula exista en un volumen infinitesimal $dV$ alrededor del punto $\textbf r$ a la vez $t$ viene dada por $\rho dV=\Psi^*\Psi dV$ donde $\Psi(\textbf r,t)$ es la función de onda de la partícula. La corriente de probabilidad viene dada por $$\textbf j=\frac{\hbar}{2mi}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*)$$ que describe el flujo de probabilidad por unidad de tiempo por unidad de superficie. Ahora bien, como la partícula siempre existirá en algún lugar, la probabilidad total se conserva. Entonces, ¿qué hace la Ecuación de Continuidad $(2)$ ¿lo dice ahora? Que, el flujo neto hacia el exterior de la corriente de probabilidad a través de la superficie de un volumen cerrado $V$ es igual a la tasa de disminución de la densidad de probabilidad dentro del volumen $V$ . Refleja que cuanto mayor es el flujo hacia el exterior, menos probable es que la partícula se encuentre dentro del volumen $V$ .
Del mismo modo, también puede encontrar el significado de $(1)$ a la luz de la difusión en Dinámica de Fluidos o de la conducción del calor. En la primera, significa que el flujo neto hacia el exterior de un fluido a través de un volumen se produce a expensas de la masa de fluido dentro del volumen, reflejando así la conservación de la masa. En el segundo, la cantidad análoga a la masa es la energía.
Puedes leer más sobre la Ecuación de Continuidad en varias fuentes como : https://en.wikipedia.org/wiki/Continuity_equation#Energy_and_heat
Por último, me gustaría hacer una observación. Cuando uno es capaz de ver cómo la misma ecuación cae tan maravillosamente en una variedad tan amplia de áreas, se da cuenta de la belleza subyacente de que explique diferentes fenómenos naturales con el mismo espíritu. Creo que es entonces cuando la alegría de la Física es máxima. ¡Feliz aprendizaje!
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