Demostrar que la dimensión más pequeña para $V$ es 4.

Question

Sea $V$ a $\mathbb{Q}$ -espacio lineal, $\dim_\mathbb{Q}V<\infty$ , $T: V \rightarrow V$ un operador lineal tal que $T^2 = -Id$ . Si $V$ tiene un $T$ -subespacio propio invariante $W$ , $\dim(W) \ge 1$ , entonces la dimensión más pequeña para $V$ es 4.

En primer lugar, el polinomio mínimo de $T$ es $m_T(t) = t^2 +1$ ¿verdad?

Dividí en casos:

1. Si $\dim V = 1$ no existe ningún subespacio cuya dimensión sea $\ge 1$ .
2. Si $\dim V = 2$ entonces $\dim W = 1$ . Así que.., $W = [w]$ , $w \in W$ . Entonces $m_T(T)(w) = 0$ . Esto implica que $m_{T,w}|m_T$ (Aquí $m_{T,w}$ es el polinomio mónico mínimo que aniquila a $T$ en $w$ ). Entonces, $m_{T,w}(t) = t^2 + 1$ y $\dim W \ge deg(m_{T,w}) = 2$ que es un absurdo.
3. Si $\dim V = 3$ por el Teorema de Cayle-Hamilton, $m_T | c_T$ y ambos tienen los mismos factores irreductibles, lo que implica $c_T = (m_T)^k, k \in \mathbb{N}$ . Entonces $\deg (c_T) = 2k$ que es par. Dado que $\dim V = \deg(c_T)$ tenemos una contradicción.

Para el caso $\dim V = 4$ , dejemos que $T:\mathbb{Q}^4 \rightarrow \mathbb{Q}^4$ tal que $T(x,y,z,w) = (-y,x,-w,z)$ y que $W = [e_1,e_2]$ . Entonces, $T^2 = -Id$ y $T(W) \subseteq W$ .

Answer 1

El polinomio característico, por el teorema de Cayley-Hamilton, tiene los mismos divisores primos (porque tiene las mismas raíces) que $t^2 +1$ que es irreducible. Eso significa que el polinomio característico debe ser una potencia de $t^2+1$ por lo que debe tener incluso grado. El grado es igual a la dimensión de $V$ . Eso excluye el caso $\dim V = 3$ que es impar.