¿Tomar el producto punto de dos vectores columna implica convertir primero uno de los vectores en vectores fila?

Question

Si tienes dos vectores viviendo en el subespacio $V$ y quieres tomar el producto punto, parece que técnicamente no puedes hacer esta operación porque si escribes ambos vectores en forma matricial, ambos serían vectores columna que viven en el mismo subespacio. Para tomar el producto punto, tendrías que convertir uno de los vectores en un vector fila que vive en un subespacio dual completamente diferente $V^*$ y luego tomar el producto punto de este vector del espacio dual con el vector columna. ¿Es todo esto cierto?

Answer 1

Tú dirás:

"...para obtener el producto punto, es necesario convertir uno de los vectores en un vector fila que vive en un subespacio dual completamente diferente $V^*$ y luego tomar el producto punto de este vector del espacio dual con el vector columna. ¿Es todo esto cierto?"

Casi sí: me parece que la parte no 100% exacta es "y luego tomar el producto punto de este vector del espacio dual con el vector columna" .

Es cuestión de idioma y interpretación pero puede ser conveniente (especialmente en Relatividad General) pensar que el producto interior es una operación que se come dos vectores (lo que se llama vectores columna) y no un vector y un vector dual (de hecho, véase el definición estándar ).

Aparte de este pequeño detalle, tienes toda la razón: la operación de producto interior consiste en crear un "vector fila" a partir de un "vector columna". Este "vector fila" vive en el espacio dual (y en muchos contextos se considera una forma 1, o forma lineal ): esta forma lineal se come un vector y te da un escalar.

En resumen, la idea que subyace a la operación punto-producto consta de tres pasajes:

1) tomar dos vectores (columna).

2) utilizar una operación de dualidad para construir el "covector" o "forma 1" asociado a uno de esos dos vectores. Hay muchas maneras de hacerlo (por ejemplo, en Relatividad General no se hace una transposición, sino que se bajar el índice con el tensor métrico.. y en Mecánica Cuántica un vector "ket" se convierte en un objeto dual "transpuesto" llamado "bra", véase por ejemplo este ).

3) ahora, la forma lineal se come el otro vector (fila) y te da un número, la salida de la operación punto-producto.