Interesante propiedad de la matriz de reflexión

Question

Por inspección, es evidente que la matriz de reflexión es una matriz ortogonal, mientras que su transpuesta es equivalente a su no transpuesta. La matriz de reflexión puede representarse mediante la matriz cuadrada:

Ahora bien, geométricamente es evidente que su transpuesta es equivalente a su no transpuesta ya que la matriz de reflexión funciona también como su propia inversa, y esto se puede ver geométricamente:

Sin embargo, lo que me preguntaba es si existen otras matrices, quizá de dimensiones diferentes, que representen la misma naturaleza, y si hay algún método concreto para encontrar matrices de esta naturaleza.

Answer 1

Una reflexión es su propia inversa, y como es una isometría que deja fijo el origen, su matriz es una matriz ortogonal. La inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta, pero la inversa de esta matriz debe ser ella misma. Por lo tanto, la transpuesta de esta matriz es ella misma, es decir, es simétrica.