Representación de expresiones lógicas

Question

Sea P una expresión lógica en dos variables, es decir,

$P:(T, F) × ( T, F ) ( T, F)$

Exprese lo siguiente utilizando sólo cuantificadores, operadores lógicos, paréntesis y la función expresión lógica P(q, r).

i) P(q, r) es una tautología.

ii) P(q, r) es una contingencia.

iii) P(q, r) es una contradicción.

Para la primera parte de esta pregunta, obtengo una respuesta: $\forall q \exists r P(q,r) $ ya que una tautología siempre es verdadera. La forma en que lo pensé, es que para cualquier posibilidad de VERDADERO o FALSO en el producto cartesiano anterior, sólo hay una combinación posible que haría que la afirmación "si entonces" fuera una tautología.

El decorado: { $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ }

$T \to T \equiv T $

$F \to T \equiv T $

Así que para cualquier valor que elija para $q$ existe un valor $r$ que haría de esto una tautología. El resto de las combinaciones dan todas valores FALSOS.

La respuesta a esta pregunta no es la que yo obtuve, sino más bien: $\forall q \forall r P(q,r) $

¿Cómo es posible? ¿Hay algo que esté haciendo mal?

Answer 1

P(q, r) no es una expresión del lenguaje objeto, sino una expresión del metalenguaje (no es una expresión lógica, sino una expresión metalógica). No entra en ninguna de las tres categorías de calificación de "tautología", "contradicción" o "contingencia".

El texto probablemente pretende que P(q, r) indique cualquier expresión lógica de objeto que tiene dos variables (equiformes). En notación polaca algunos ejemplos de esta clase de expresiones son: Cpq, CCpqCqp, CCpCqpKCpqp, CKpqKqp, CKpqAqp, CCpqCCpqCqp, CCpqCCppCpq y CApqCCCCAKpqppqqq. Todos ellos tienen dos variables. Una wff con sólo dos variables (equiformes) sólo se sostiene como tautología cuando para todos los valores de la primera variable, y para todos los valores de la segunda variable, la evaluación de la wff siempre se evalúa al valor designado. Tu fórmula no dice algo equivalente a eso.

Answer 2

Se confunde entre satisfabilidad y validez. $\forall q \exists r P(q,r) $ no garantiza que P(q,r) sea una tautología, ya que $\exists r \neg P(q,r) $ .