Ejemplo de conjunto estrictamente convexo en $\ell_\infty$ ?

Question

Sea $\ell_\infty$ sea el espacio de las sucesiones acotadas dotadas de la norma supremum.

¿Existen subconjuntos estrictamente convexos de $\ell_\infty$ que tienen un interior no vacío? (La última condición es para descartar ejemplos triviales como los singletons).

La bola unitaria de $\ell_\infty$ no es estrictamente convexa, y $\ell_\infty$ no es separable, por lo que no puedo utilizar este resultado .

Un conjunto estrictamente convexo $C$ por cierto, es un conjunto convexo cuya frontera no contiene ningún segmento de línea abierto, es decir. $x,y \in \partial C$ implica $\{\alpha x + (1-\alpha)y: \alpha \in (0,1)\} \subset$ int $C$ .

Answer 1

Defina $f(x):= \sum_n \frac1{n^2}x_n^2$ . Entonces $f:l^\infty\to \mathbb R$ es continua y estrictamente convexa. Y el conjunto $\{x\in l^\infty: \ f(x) <1\}$ es estrictamente convexa con interior no vacío. Obsérvese que $x\mapsto \sqrt{f(x)}$ es una norma estrictamente convexa en $l^\infty$ .