la sucesión de Cauchy débil es de norma compacta

Question

Una secuencia $(x_n)$ es débilmente cauchy si para cada $x^*\in X^*$ , $(x^*(x_n))$ converge. Sea $c$ denotan el espacio de las funciones convergentes.

Teorema: Una sucesión débilmente cauchy está acotada por norma.

Prueba: Sea $(x_n)$ sea una sucesión débilmente cauchy en $X$ . Defina $T:X^*\to c$ por $T(x^*)=(x^*(x_n))$ . Por el teorema del grafo cerrado, $T$ es continua, por lo que $||T||=\text{sup}_n||x_n||<\infty$ .

Pregunta 1: ¿Por qué la gráfica de $T$ está cerrado en $X^*\times c$ ?

Pregunta 2: ¿Por qué $||T||=\text{sup}_n||x_n||$ ? Yo tengo $||T||=\text{sup}_{||x^*||=1}||Tx^*||_{\infty}=\text{sup}_{||x^*||=1}||(x^*(x_n))||_{\infty}\leq\text{sup}_{||x^*||=1}||x^*|||(x_n)||_{\infty}=||(x_n)||_{\infty}$

pero no veo la otra desigualdad.

Answer 1

Es una de las consecuencias de Hahn-Banach:

Si $x \in X$ entonces $$||x||=\sup\{|x^*(x)|:||x^*|| \leq 1\}$$

Tenga en cuenta que $$||T||=\sup\{||T(x^*)||:||x^*||=1\}=\sup\{||T(x^*)||:||x^*||\leq1\}$$

A partir de ahí, puedes obtener la igualdad de la segunda pregunta.