Función de suelo. Sean x e y números racionales

Question

Sean x e y números racionales.

A. $\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor = \left \lfloor x+y \right \rfloor$

B. $\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor \le \left \lfloor x+y \right \rfloor$

C. $\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor \ge \left \lfloor x+y \right \rfloor$

D. Ninguna de las anteriores.

¿Puede alguien explicar por qué la respuesta es B? Gracias.

Answer 1

El hecho de que $\left\lfloor x\right \rfloor\leq x$ debería estar claro (avísame si no lo está). Ahora añade esto a la misma desigualdad con $y$ para conseguirlo:

$$\left\lfloor x\right \rfloor+\left\lfloor y\right \rfloor\leq x+y$$

Ahora, tomando el suelo de ambos lados no cambia el lado izquierdo, y da tu respuesta.

Answer 2

Sea $\left \lfloor x \right \rfloor = x_{0} + x_{1}, x_{0} \in \mathbb{Z}, 0\leq x_{1}<1$

Del mismo modo, definimos $\left \lfloor y\right \rfloor$

Entonces $\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor = x_{0} + y_{0}$

Ahora hay que considerar dos casos:

(i) $x_{1} + y_{1} < 1$

y

(ii) $x_{1} + y_{1} \geq 1$

Caso (i):

$\left \lfloor x + y \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor = x_{0} + y_{0}$

Caso (ii):

$\left \lfloor x + y \right \rfloor = x_{0} + y_{0} + 1 > \left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor $

Por lo tanto $\forall x,y \in \mathbb{Q}$ , $\left \lfloor x + y \right \rfloor \geq \left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor$ según sea necesario

Answer 3

Si $x$ y $y$ son números racionales (o reales), entonces deben existir números $h$ y $k$ tal que $0 \le h,k < 1$ , $x = \left \lfloor x \right \rfloor + h$ y $y = \left \lfloor y \right \rfloor + k$ .

Así que..: \begin{align} \left \lfloor x + y \right \rfloor &= \left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor + h + \left \lfloor y \right \rfloor + k \right \rfloor \\ &= \left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor + \left \lfloor h+k \right \rfloor\\ &\ge \left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor \\ \end{align}

Answer 4

Para cualquier $x$ entonces hay un número entero $n$ para que $n \le x < n + 1$ . Llamamos $n = [x]$ .

así que $[x] \le x < [x]+ 1; [y] \le y < [y] + 1$ así que $[x]+ [y] \le x + y < [x] + [y] + 2$ .

así que hay dos posibilidades:

$[x] + [y] \le x + y < [x] + [y] + 1$ y así $[x+y] = [x]+ [y]$ . Esto ocurrirá si $(x -[x]) + (y - [y]) < 1$ . por ejemplo $x = 2.3$ $y = 7.4$ .

de $[x]+ [y] + 1 \le x+y < [x]+ [y]+ 1 + 1$ y $ [x+y] = [x]+[y] + 1$ . Esto ocurrirá si $(x -[x]) + (y - [y]) \ge 1$ . por ejemplo $x = 2.5$ y $y=7.6$ .

Así que $[x+y] = \{[x]+[y], [x]+[y]+1\}$ .

En cualquier caso... $[x]+ [y] \le [x+y]$ .