Detección de elementos de un grupo mediante caracteres.

Question

Es bien sabido que la traza de la representación regular $\rho$ de un grupo $G$ 'detecta' el elemento de identidad del grupo. Más concretamente, tenemos

$$ Tr(\rho)(g) = \begin{cases}|G|&\mbox{if }g=e\\ 0&\mbox{otherwise.}\end{cases} $$

Ahora bien, si $G$ es abeliano, esto se puede utilizar para detectar elementos arbitrarios en $G$ como

\begin{equation}\label{Equation 1} Tr(\rho)(h^{-1}g) = \begin{cases}|G|&\mbox{if }g=h\\ 0&\mbox{otherwise.}\end{cases} \end{equation}

La clave aquí es que toda representación irreducible de $G$ (en este caso) es unidimensional, de modo que $Tr(\rho)(h^{-1}g) = \rho(h^{-1}g)$ puede escribirse como una combinación lineal de representaciones irreducibles de $G$ .

Mi pregunta es la siguiente.

¿Existe una forma análoga de detectar elementos arbitrarios cuando $G$ no es abeliano

EDITAR: Permítanme contextualizar un poco la pregunta. La motivación procede de Artin $L$ funciones (sobre $\mathbb{Q}$ para simplificar). Consideremos la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ y supongamos, para un $a,N\in \mathbb{N}$ con $GCD(a,N)=1$ Estoy interesado en la función $$ L(s):=\sum_{m\equiv a\mod N} \frac{1}{m^s}. $$ Entonces es bien sabido (y de hecho una consecuencia de la primera de las dos ecuaciones anteriores) que

$$ L(s) = \frac{1}{\varphi(N)}\sum_\chi \chi(a)^{-1}L(s,\chi) $$ donde $L(s,\chi)$ es el Dirichlet $L$ función del carácter $\chi$ modulo $N$ dado por

$$ L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}, $$ y la suma se realiza sobre todos los caracteres de $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ .

Algo muy similar puede hacerse también para otros campos numéricos (aunque no he hecho los cálculos exactos, creo que debería ser posible hacer lo mismo para otros campos de Dirichlet/Hecke). $L$ funciones también). Ahora estoy interesado en sustituir $\zeta(s)$ con Artin $L$ funciones de representaciones de dimensiones superiores y ver si es posible algo parecido. Espero que esto aclare mi pregunta.

Answer 1

Si he entendido bien tu pregunta, la cuestión es que los caracteres son funciones de clase, por lo que en un grupo no abeliano no podrás distinguir dos elementos distintos que sean conjugados.

Answer 2

Independientemente de la abelianidad de $G$ el carácter regular sobre los números complejos para grupos finitos al menos, se define de forma similar: $$\rho=\underset{\chi \in Irr(G)}\sum \chi(1)\chi.$$ Y $\rho(g)=|G|$ si $g=1$ , $\rho(g)=0$ si $g \neq 1$ . Por lo tanto, de forma similar, este personaje puede "detectar" elementos arbitrarios.

Editar (8 de abril de 2021)

Como probablemente sepas, Richard Dedekind estudió los cocientes de lo que ahora se llama Funciones zeta de Dedekind y demostró que el cociente $\zeta_M(s)/\zeta(s)$ es entera para cada extensión cúbica pura $M/\mathbb{Q}$ . Este resultado sugiere que el cociente $\zeta_M(s)/\zeta_k(s)$ de las funciones zeta de Dedekind es entera siempre que $M/k$ es una extensión de los campos numéricos, y esto se llama ahora el Conjetura de Dedekind .

De otro modo, para cualquier $G = Gal(K/k)$ Artin conjeturó que cada $L$ -función $L(s, \chi, K/k)$ con $\chi \in Irr(G)-\{1_G\}$ se extiende a toda una función. La Ley de Reciprocidad de Artin implica que esta conjetura es válida si $\chi$ es monomio, es decir, inducido a partir de un carácter lineal de algún subgrupo de $G$ . A partir de esto y de su famoso teorema de inducción, Brauer demostró además que cada $L(s, \chi, K/k)$ se extiende a una función meromórfica sobre $\mathbb{C}$ . Aramata y Brauer demostraron independientemente la conjetura de Dedekind para cada extensión de Galois de campos numéricos. Además, si $M$ está contenido en un cierre normal soluble de $k$ Uchida y Robert van der Waall establecieron (1975) la conjetura de Dedekind en este caso. En general, la conjetura de Dedekind se derivaría de la conjetura de Artin. Sin embargo, ambas conjeturas siguen abiertas.

Espero que esto le proporcione más antecedentes y lecturas.