demostrar que $\operatorname{Int}(A \cap B)= \operatorname{Int}(A) \cap \operatorname{Int}(B)$

Question

En el libro que estoy utilizando dejan la demostración del teorema "como ejercicio", así que me gustaría intentarlo. Si me equivoco, por favor, díganmelo.

Sea $A$ y $B$ sean subconjuntos de un espacio métrico $X$ .

$\Rightarrow$

$\operatorname{Int}(A \cap B) \subseteq A \cap B$ .

Ahora como $A \cap B\subseteq A $ y $A \cap B\subseteq B$ ,

tenemos $\operatorname{Int}(A \cap B) \subseteq A$ y $\operatorname{Int}(A \cap B) \subseteq B$ .

En $\operatorname{Int}(A \cap B)$ es un conjunto abierto, por lo que $\operatorname{Int}(A \cap B)\subseteq\operatorname{Int}(A)$ y $\operatorname{Int}(A \cap B)\subseteq\operatorname{Int}(B)$ ,

así $\operatorname{Int}(A \cap B)\subseteq\operatorname{Int}(A)\cap \operatorname{Int}(B)$

$\Leftarrow$

En $\operatorname{Int}(A)\subseteq A$ y $\operatorname{Int}(B)\subseteq B$ ,

así $\operatorname{Int}(A)\cap\operatorname{Int}(B) \subseteq A\cap B$ .

Como ambos $\operatorname{Int}(A)$ y $\operatorname{Int}(B)$ son conjuntos abiertos, y una intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta,

así $\operatorname{Int}(A)\cap\operatorname{Int}(B)$ está abierto.

Así $\operatorname{Int}(A)\cap\operatorname{Int}(B) \subseteq\operatorname{Int}(A\cap B)$ .

Así llegamos a la conclusión de que $\operatorname{Int}(A \cap B)= \operatorname{Int}(A) \cap\operatorname{Int}(B)$ .

Answer 1

Su prueba es correcta. La primera parte es también la forma general para cualquier operador interior sobre un conjunto de potencias. Incluso se podría omitir un paso utilizando directamente la monotonía para concluir $\operatorname{int}(A\cap B)\subseteq\operatorname{int}(A)$ y $\operatorname{int}(A\cap B)\subseteq\operatorname{int}(B)$ de $A\cap B\subseteq A$ y $A\cap B\subseteq B$ .

Utilizando la definición del interior de la topología como la unión de todos los subconjuntos abiertos también existe una ecuación directa entre las dos expresiones. Sea $(X,\mathcal{T})$ sea un espacio topológico y $A,B\subseteq X$ sean subconjuntos, entonces: \begin{align*} \operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B) &=\left(\bigcup_{\substack{U\subseteq A, \\ U\in\mathcal{T}}}U\right) \cap\left(\bigcup_{\substack{V\subseteq B, \\ V\in\mathcal{T}}}V\right) =\bigcup_{\substack{U\subseteq A, \\ U\in\mathcal{T}}}\left(\bigcup_{\substack{V\subseteq B, \\ V\in\mathcal{T}}}U\right)\cap V =\bigcup_{\substack{U\subseteq A, \\ U\in\mathcal{T}}}\bigcup_{\substack{V\subseteq B, \\ V\in\mathcal{T}}}U\cap V \\ &=\bigcup_{\substack{W\subseteq A\cap B, \\ W\in\mathcal{T}}}W =\operatorname{int}(A\cap B). \end{align*} También encontrará una respuesta aquí .