Cómo evaluar un $1$ -en un campo vectorial?

Question

Tengo el formulario : $dz + x\, dy$ .

Si quiero evaluar esto en un campo vectorial, digamos $-\partial_{z}$ ¿Cómo lo hago?

No entiendo qué hacen las formas 1 definidas con una derivada exterior con los campos vectoriales. Una respuesta para una forma general y / o una resolución para el caso mencionado sería muy útil.

Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Basis}{\mathbf{e}}\newcommand{\dd}{\partial}$ Primero, $(dz + x\, dy)(-\dd_{z}) = -1$ .

En general, trabajar en $\Reals^{3}$ para concretar, si $(x, y, z)$ denota algún sistema de coordenadas, $(\dd_{x}, \dd_{y}, \dd_{z})$ denota los campos vectoriales de coordenadas asociados, y $(dx, dy, dz)$ denota la coordenada $1$ -formas, entonces $$dx(\dd_{x}) = \frac{\dd x}{\dd x} = 1,\qquad dy(\dd_{y}) = \frac{\dd y}{\dd y} = 1,\qquad dz(\dd_{z}) = \frac{\dd z}{\dd z} = 1,$$ y todas las demás evaluaciones son cero.

Para manejar formas generales y/o campos vectoriales, "extender usando bilinealidad sobre funciones suaves". Concretamente, si $\omega = f_{1}\, dx + f_{2}\, dy + f_{3}\, dz$ es un $1$ -formulario, entonces $$\omega(\dd_{x}) = f_{1},\qquad \omega(\dd_{y}) = f_{2},\qquad \omega(\dd_{z}) = f_{3}.$$ Si $v = v_{1}\, \dd_{x} + v_{2}\, \dd_{y} + v_{3}\, \dd_{z}$ es un campo vectorial general, entonces $$\omega(v) = f_{1} v_{1} + f_{2} v_{2} + f_{3} v_{3}.$$