Geometría de las fibraciones de Hopf y la fibración de Steifel Manfiolds sobre Grassmannianos

Question

En $F = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ o $\mathbb{H}$ existen fibraciones $$O(k,F)\rightarrow V_k(F^n)\rightarrow G_k(F^n)$$ donde $V_k(F^n)$ son colectores de Steifel y $G_k(F^n)$ son Grassmannianos. Cuando $k=1$ se reducen a las fibraciones de Hopf $$S^{d-1}\rightarrow S^{dn-1}\rightarrow FP^{n-1}$$ donde $d=\text{dim}F$ .

Si $S^{dn-1}$ se dan métricas redondas, la gente le da mucha importancia a las métricas en $FP^{n-1}$ que hacen las anteriores sumersiones riemannianas.

También puede describir las métricas en $FP^{n-1}$ con distancias entre subconjuntos de la esfera redonda $S^{dn-1}$ que corresponden a líneas que pasan por el origen en $F^n$ . Esto, por lo que he leído (y con lo que estoy de acuerdo), es también la métrica natural a poner en $G_k(F^n)$ donde "líneas" se ha sustituido por " $k$ -aviones".

Estoy siendo engañado en la creencia de que debe haber alguna métrica agradable en $V_k(F^n)$ que hace que el mapa $V_k(F^n)\rightarrow G_k(F^n)$ Riemannian y que no debía estar escuchando cuando la gente estaba haciendo un gran alboroto sobre estas métricas en $G_k(F^n)$ como lo hacen para $FP^n$ .

Pregunta : ¿Qué falla? Si nada, ¿por qué no es tan interesante como la geometría de las fibraciones de Hopf? Si es igual de interesante, ¿dónde hay una buena fuente para aprender más?

Answer 1

Tiene razón, es cierto. Empiezas con la métrica invariante en $O(k,F)$ . Entonces los subgrupos relevantes actúan isométricamente, por lo que se obtienen sumersiones riemannianas. Las variedades de Grassmann son espacios simétricos, pero las variedades de Stiefel sólo son homogéneas. Una fuente muy buena que también da explícitamente todas las geodésicas e incluso la distancia geodésica en los Grassmanianos es:

• Y. A. Neretin, On jordan angles and the triangle inequality in grassmann manifold, Geometriae Dedicata, 86 (2001).

Answer 2

Apriori no se obtiene una inmersión riemanniana porque los subconjuntos correspondientes de las esferas unitarias en el $k$ -Los planos no estarán "a distancia constante" como en el caso simétrico de rango 1.