Lineal avanzado

Question

Una involución es una transformación lineal $ L(V, V )$ tal que $^2 = Id_V$ . Demuestre que la ecuación $ = 2Id_V$ establece una correspondencia unívoca entre todas las proyecciones $$ y todas las involuciones $$ .

Answer 1

Si

$\pi:V \to V \tag 1$

es una proyección, entonces

$\pi^2 = \pi; \tag 2$

si fijamos

$\phi = 2\pi - I, \tag 3$

tenemos

$\phi^2 = (2\pi - I)(2\pi - I) = 4\pi^2 - 4\pi + I = 4\pi - 4\pi + I = I, \tag 4$

así que $\phi$ es una involución en $V$ .

Del mismo modo, si $\phi$ es una involución y (3) se cumple para algún $\pi \in L(V, V)$ entonces

$4\pi^2 - 4\pi + I = (2\pi - I)(2\pi - I) = \phi^2 = I, \tag 5$

de donde

$4\pi^2 - 4\pi = 0 \Longrightarrow 4\pi^2 = 4\pi \Longrightarrow \pi^2 = \pi, \tag 6$

así que $\pi$ es una proyección.

Para cada proyección $\pi$ (3) define una involución, y para cada involución, (3) define una proyección, a saber

$\pi = \dfrac{1}{2}(\phi + I); \tag 7$

de hecho esto nos da

$\pi^2 = \dfrac{1}{4}(\phi + I)(\phi + I) = \dfrac{1}{4}(\phi^2 + 2\phi + I)$ $= \dfrac{1}{4}(I + 2\phi + I) = \dfrac{1}{4}(2\phi + 2I) = \dfrac{1}{2}(\phi + I) = \pi. \tag 8$

Las correspondencias (3) y (7) son cada una claramente unívoca, para

$\phi = 2\pi_1 - I = 2\pi_2 - I \Longrightarrow 2\pi_1 = 2\pi_2 \Longrightarrow \pi_1 = \pi_2, \tag 9$

y

$\pi = \dfrac{1}{2}(\phi_1 + I) = \dfrac{1}{2}(\phi_2 + I) \Longrightarrow \phi_1 + I = \phi_2 + I \Longrightarrow \phi_1 = \phi_2. \tag{10}$