Las únicas 1-variedades son $\mathbb R$ y $S^1$

Question

Recuerdo haber escuchado en algún lugar que los únicos 1-manifolds (espacios de segundo recuento, Hausdorff, conexos localmente homeomorfos a $\mathbb R$) son $\mathbb R$ y $S^1$. ¿Es esto cierto? En caso afirmativo, ¿hay una demostración razonablemente elemental?

Answer 1

Hay una prueba delineada en los Problemas 17-5 y 17-7 de "Introducción a las Variedades Diferenciables" de John Lee que utiliza una clasificación básica de curvas integrales de campos vectoriales, específicamente que una curva integral no constante y máximamente definida es ya sea inyectiva o periódica, lo cual implica (después de un pequeño trabajo) que la imagen de cualquier curva integral no constante es difeomorfa a $\mathbb{R}$ o a $\mathbb{S}^1$. El problema se termina mostrando que cualquier 1-variedad es orientable y, por lo tanto, admite un campo vectorial global no anulable, del cual se considera una curva integral máximamente definida.

No creo que esta sea la misma prueba que se da en Guillemin y Pollack o en Milnor, y en mi opinión es bastante más simple que ambas.