Prueba de trabajo y tiempo

Question

Si hace falta " $x$ ", " $a$ "días más para terminar una obra que el tiempo que tarda $(x + y)$ para hacer el mismo trabajo y si " $y$ ", " $b$ "días más que el tiempo empleado por $(x + y)$ para hacer el mismo trabajo, entonces $(x + y)$ hacer el trabajo en $\sqrt{ab}$ .

Por favor, ayúdenme a demostrar esta afirmación.

Answer 1

Denotemos con $n$ los días que $x$ y $y$ juntos para completar la tarea. Se nos pide que demostremos que $n=\sqrt{ab}$ .

Por la información facilitada, $x$ necesita $n+a$ días y $y$ necesita $n+b$ días. Esto significa que cada día $x$ completa $\dfrac1{n+a}$ de la tarea y $y$ completa $\dfrac1{n+b}$ de la tarea. Por lo tanto, cuando $x,y$ trabajan juntos completan en cada día $$\frac1{n+a}+\frac{1}{n+b}=\frac{2n+a+b}{(n+a)(n+b)}$$ de la tarea. Ya que, ambos juntos necesitan $n$ días (por hipótesis) para completar la tarea, tenemos que \begin{align}n\cdot\frac{2n+a+b}{(n+a)(n+b)}=1&\implies 2n^2+n(a+b)=n^2+n(a+b)+ab\\[0.2cm]&\implies n^2=ab\overset{n>0}\implies n=\sqrt{ab}\end{align}