Descripción del mapa de cobertura universal para el plano complejo dos veces puntuado

Question

Como es bien sabido, el espacio de cobertura universal del plano complejo puntuado es el propio plano complejo, y la cobertura viene dada por el mapa exponencial.

En cierto sentido, esto demuestra que el logaritmo tiene la peor monodromía posible, dado que sólo tiene una singularidad en el plano complejo. De ahí que podamos visualizar fácilmente el mapa de cobertura dado por la superficie de Riemann correspondiente a registro (dado por continuación analítica, digamos).

Viendo lo fundamentales que son la exponencial y el logaritmo, me preguntaba cómo es que no sé nada del caso en el que se sacan dos puntos del plano complejo.

Mi pregunta principal es la siguiente: cómo puedo encontrar una función cuya monodromía corresponda a la cubierta universal del plano complejo dos veces puntuado (digamos ℂ∖{0,1}), del mismo modo que la monodromía de registro corresponde a la cubierta universal del plano perforado.

Por ejemplo, se podría intentar f (*z*) = registro (*z*) + registro (*z*-1) pero se ve fácilmente que la superficie de Riemann correspondiente tiene un grupo abeliano de transformaciones de cubierta, cuando debería ser F ₂ .

La mayor ayuda hasta ahora ha sido buscar sobre el problema de Riemann-Hilbert; es posible escribir una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden 2 que tenga el grupo de monodromía requerido.
El único problema es que no muestra cómo hacerlo explícitamente: Empecé con una representación fiel del grupo fundamental (del plano complejo dos veces puntuado) en GL(2,ℂ) (de hecho las matrices correspondientes en SL(2,ℤ) son fáciles de producir), pero los cálculos se me fueron rápidamente de las manos.

Mi esperanza número uno sería algo relacionado con la función hipergeométrica ₂ F ₁ ya que esto resuelve en general ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con 3 puntos singulares regulares (para ₂ F ₁ los puntos singulares son 0, 1 y ∞, pero podemos moverlo con transformaciones de Möbius), pero realmente esperaba algo mucho más explícito, sobre todo viendo que muchos parámetros parecen no producir la monodromía correcta. Sobre todo sabiendo que aunque la ecuación diferencial tenga la monodromía correcta, las soluciones podrían no tenerla.

Me encantaría conocer cualquier información que alguien tenga relacionada con descripciones analíticas de esta cubierta universal, me sorprendió bastante ver lo poco que hay escrito sobre ella.
Puntos extra para cualquier cosa que también funcione para más puntos eliminados, pero viendo lo complicado que parece esto para sólo dos puntos eliminados, no tengo muchas esperanzas (sabiendo que a partir de 3 puntos singulares (+∞), aparecen muchos fenómenos complicados).

Answer 1

La función que quieres es, como ha dicho David, una función modular. Aparece en casi cualquier demostración del Pequeño Teorema de Picard (creo que el texto de Ahlfors sobre análisis complejo tiene alguna discusión) y se puede construir usando tonterías abstractas encontrando un mapeo conforme del dominio

1 > Re(z) > 0, |z-1/2| > 1/2

en el semiplano superior y haciéndola rebotar mediante la reflexión de Schwarz. Más concretamente el grupo de Gamma(2) de matrices enteras 2x2 que reducen a cero mod 2 actúa libremente (excepto menos la matriz identidad) sobre el semiplano superior por transformaciones lineales fraccionarias, y esto da una acción explícita del grupo libre sobre dos generadores por transformaciones de cubierta.

Esto nos lleva a funciones y formas modulares que están, por decirlo suavemente, bien estudiadas.

La mayoría de los textos introductorios sobre formas modulares suelen incluir un análisis y una demostración exhaustivos de esta cobertura; por ejemplo, "Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions" de Goro Shimura.

EDIT: ups, si voy a decir "reflexión de Schwarz" quiero la mitad del dominio fundamental.

Answer 2

Otros ya han dado una descripción cualitativa satisfactoria como función modular bajo un grupo de congruencia adecuado. Dado que el cociente en cuestión es necesariamente de género cero, existen fórmulas explícitas para tales funciones.

Me equivoqué en mi comentario a la respuesta de Tyler. La función que proporcioné allí es invariante bajo un grupo más grande que el que queremos, y produce la cubierta universal para el plano complejo con una y media punciones.

El producto Dedekind eta eta(z/2)^8/eta(2z)^8 no sólo es invariante bajo Gamma(2) (= F ₂ ), pero mapea H/Gamma(2) biyectivamente al plano dos veces puntuado. Tendrás que postcomponer con una transformación afín adecuada para mover las puntuaciones a cero y a uno. Una descripción alternativa es: eta(z)^24/(eta(z/2)^8 eta(2z)^16).

Esta función surge en la luz de luna monstruosa: eta(z)^8/eta(4z)^8 + 8 es el carácter graduado de un elemento de orden cuatro, en la clase de conjugación 4C en el monstruo, actuando sobre el álgebra de vértices del monstruo (un espacio vectorial graduado con alguna estructura extra). Es invariante bajo Gamma ₀ (4), que es lo que se obtiene conjugando Gamma(2) bajo el mapa z -> 2z.

Otros elementos del monstruo dan lugar a funciones que actúan como cubiertas universales para planos con una colocación de puntura y un comportamiento de orbifold específicos. Para el caso general de más de 2 punciones, hay que utilizar métodos más geométricos, debido a los módulos no triviales. Creo que tu idea de usar funciones hipergeométricas va por buen camino. Creo que el libro de Yoshida, Funciones hipergeométricas, mi amor tiene algunos casos más resueltos.

Answer 3

Siento revivir un tema tan antiguo. Pero es realmente necesario mencionar que esta cubierta universal del plano dos veces perforado fue construida por PICARD, y como dice uno de los comentarios, se utilizó en la demostración del pequeño Picard (y también del gran Picard). Se trata de una de las construcciones más famosas de Picard, así que me disculparán que haga hincapié en ella. Se construye explícitamente en el libro de Ahlfors sobre análisis complejo.

Answer 4

La función que quieres es una función modular. La cubierta universal de C \ {0,1} es el semiplano superior; un dominio fundamental es { z : 0 < Re(z) < 1, |z-1/2| > 1/2 }. Este es también un dominio fundamental para la acción de \Gamma_0 (2) en el semiplano superior, donde \Gamma_0 (2) es el grupo de matrices enteras cuya entrada inferior izquierda es par. Hay una construcción estándar de una función modular que tiene esta simetría; pero estoy olvidando la terminología. Probablemente Scott vendrá pronto y me dará los detalles que me faltan.

Una buena referencia para este tipo de cosas es Conformal Mapping, de Zeev Nehari.

Answer 5

Creo que estás buscando polilogaritmos. No es sólo una función lo que buscas; el grupo fundamental del plano una vez perforado es cíclico y no tiene una tonelada de representaciones interesantes, mientras que el grupo fundamental del plano dos veces perforado es libre de rango dos y, por tanto, tiene mucha más carne.

Nótese, sin embargo, que los polilogaritmos tienen todos monodromía unipotente; debe pensarse en ellos como si viéramos, no el grupo fundamental completo de C - 0,1, sino la envoltura algebraica pro-unipotente de éste. Pero como aprendimos de la monografía de Deligne sobre el grupo fundamental de P^1 menos tres puntos, hay una enorme cantidad de contenido incluso aquí.

No estoy seguro de qué lectura recomendar para una introducción a esta historia, excepto el propio artículo de Deligne, pero si buscas cosas que contengan alguna combinación de polilogaritmo, multizeta e integral iterada encontrarás toneladas; entre ellas, encuentra algo que se adapte a tus gustos....