¿Existe un "objeto universal de grupo"? (respuesta: ¡sí!)

Question

Quiero decir que un objeto de grupo en una categoría (por ejemplo, un grupo discreto, un grupo topológico, un grupo algebraico...) es la imagen bajo un functor preservador del producto del "diagrama objeto grupo", $D$ . Un problema de esta idea es que este diagrama $D$ como categoría por sí sola no tiene estructura suficiente para que el objeto etiquetado $``G\times G"$ realmente el producto de $G$ consigo mismo en $D$ .

¿Existe una categoría $U$ con un objeto de grupo $G$ en ella tal que cada objeto de grupo en cada otra categoría $C$ es la imagen de $G$ bajo un functor preservador del producto $F:U\rightarrow C$ ¿único hasta isomorfismo natural?

(Me parece bien que "preservación del producto" o "hasta isomorfismo natural" se sustituyan por otros calificativos apropiados, como "preservación del límite"...).

Answer 1

Sí, la categoría U es la opuesta a la subcategoría completa de Grp en los grupos libres en 0, 1, 2, ... generadores. Este es un caso de la teoría de Lawvere de "teorías". Véase esta entrada de nLab para una discusión (de este ejemplo, de hecho).

Answer 2

Quizás este sea un buen lugar para poner mi propaganda estándar de que la definición de "objeto de grupo" es errónea. Recordemos que tener inversos es típicamente un propiedad no un estructura . El problema es que la inversa no suele ser un morfismo, sino un "antimorfismo". Esto es cierto en cualquier lugar donde la noción de antimorfismo tenga sentido (en particular: anillos no conmutativos, variedades de Poisson).

Answer 3

Le sugiero que lea los apuntes de Steve Awodey sobre Lógica Categórica, que encontrará aquí. http://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/catlog/notes/ La categoría que busca se llama "teoría de grupos". Estos apuntes me parecen mucho más digeribles que los artículos originales de Lawvere sobre el tema.

Esencialmente, se puede formar una categoría en la que todos los objetos son productos de un único objeto G, y los únicos morfismos entre ellos son los morfismos que se obtienen de la definición básica de un objeto grupo. Entonces un grupo en cualquier categoría es un functor preservador de producto de esta categoría. En realidad, en este caso, es fácil ver que la categoría apropiada es justo la opuesta de la subcategoría completa 1, F(1), F(2), ... , F(n), ... donde F(k) es el grupo libre sobre k generadores.

Answer 4

Para ampliar la respuesta de Reid, existe una noción general de "operada" que proporciona objetos "algebraicos" universales en el sentido que usted desea.

Una característica interesante de los grupos objeto de grupo es un functor preservador del producto de una categoría determinada. A Objeto del álgebra de Hopf es un funtor monoidal de una categoría afín, pero donde la estructura monoidal no tiene por qué ser producto. Verás, si tu estructura monoidal es Producto, entonces cada objeto de tu categoría es una álgebra coasociada counital de forma única, y por tanto la mitad de los axiomas de Hopf son triviales.

¿Por qué es importante? No hay objetos de grupo interesantes en Vect. De hecho, no hay objetos monoides (unitales) interesantes, porque el producto en Vect es también un coproducto. A objeto monoide es un objeto V y mapas e : {pt} → V y m : V x V → V unital y asociativo. Pues bien, en Vect x es ⊕, y {pt} es 0. Sólo hay un mapa lineal de 0 a V para que sepamos qué e es. Si el monoide es unital, entonces m (v \oplus 0) = v = m (0 \oplus v), y linealidad de m se encarga del resto.