Sobre la continuidad de Hölder

Question

Sea $\alpha \geq 0$ . Decimos que $f \colon D \to \mathbb{R}^m$ es $\alpha$ -Hölder continua si existe una constante $c$ tal que para cada $x,x_0\in D$ , $|f(x) - f(x_0)| \leqslant c\cdot |x - x_0|^{\alpha}.$

Demostrar que si $D$ está limitada, $\alpha \leqslant \beta$ y $f$ es $\beta$ -Hölder continua, entonces $f$ es $\alpha$ -Hölder continuo.

Sé cómo probar si sólo hay $\alpha$ -Continuidad de Hölder pero no estoy seguro de cómo demostrar si $\beta$ entra.

Answer 1

Escriba para cualquier $x$ y $y$ en $D$ que $$|x-y|^{\beta}=|x-y|^{\alpha}\cdot |x-y|^{\beta-\alpha}\leqslant M\cdot |x-y|^\alpha,$$ donde $M:=2^\alpha\sup_{s\in D}|s|^\alpha$ .