Tricky integral, Euler, $ \int \frac{x^{n+2}\ dx}{\sqrt{(1-x^2)}} $

Question

$$ \int \frac{x^{n+2}\ dx}{\sqrt{(1-x^2)}} = \frac{n+1}{n+2} \int \frac{x^n \ dx}{\sqrt{(1-x^2)}} - \frac{x^{n+1}}{n+2} \sqrt{1-x^2} $$

Se dice que puede resolverse por integración por partes. He pasado las últimas horas comprobando casi todas las posibilidades, como $ u = x^{n+1}, x^{n+2} ...\ dv = \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}x} $ etc. Seguramente he desperdiciado la mitad del bosque (pobre Euler) escribiendo ecuaciones tan monstruosas con cinco o más integraciones por partes dentro. Agradecería cualquier ayuda.

Tengo un poco de miedo de que la solución sea realmente fácil, pero probablemente el cansancio no me ayudaría.

(fuente: http://www.math.uiuc.edu/~reznick/sandifer.pdf página 10)

Answer 1

Dejando $x=\sin t$ se convierten en los famosos Integrales de Wallis cuya relación de recurrencia se demuestra en el artículo enlazado.

Answer 2

Se puede hacer por partes, sin la trigonometría. Sea $I_n=\int \frac{x^n \ dx}{\sqrt{1-x^2}},$ y considerar la integral $$J_n=\int \frac{x^n(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}.$$ Por un lado, es $I_n-I_{n+2}$ ampliando el numerador. Por otra parte, simplificando el integrando de $J_n$ a $x^n \sqrt{1-x^2},$ podemos integrar $J_n$ por partes con $u=\sqrt{1-x^2}$ y $dv=x^n\ dx.$ Esto da $$J_n = \sqrt{1-x^2}\frac{x^{n+1}}{n+1}+\frac{1}{n+1}I_{n+2}.$$ Si ahora equiparamos las dos versiones de $J_n$ y resolver para $I_{n+2}$ llegamos a la fórmula de reducción que figura en la parte superior de la pregunta.