¿De cuántas maneras pueden dividirse nueve estudiantes en equipos de $4$ , $3$ y $2$ ¿Gente?
Los equipos se distinguen por su tamaño. Elegir quién está en cada equipo determina completamente los equipos.
Existen $\binom{9}{4}$ formas de seleccionar a cuatro de los nueve estudiantes para que formen parte del equipo de cuatro estudiantes, $\binom{5}{3}$ seleccionar a tres de los cinco estudiantes restantes para que formen parte del equipo con tres estudiantes, y una forma de formar un equipo de dos con los dos estudiantes restantes. Por lo tanto, hay $$\binom{9}{4}\binom{5}{3} = \frac{9!}{4!5!} \cdot \frac{5!}{3!2!} = \frac{9!}{4!3!2!}$$ formas de dividir a los nueve alumnos en tres equipos sin etiquetar.
Si en lugar de eso hubiéramos elegido el equipo de dos, luego el equipo de tres de entre los siete alumnos restantes, y después hubiéramos colocado a los cuatro alumnos restantes en el equipo de cuatro, podríamos seleccionar los equipos en $$\binom{9}{2}\binom{7}{3} = \frac{9!}{2!7!} \cdot \frac{7!}{3!4!} = \frac{9!}{2!3!4!}$$ maneras, de acuerdo con lo anterior.
Observa que etiquetar al equipo con cuatro estudiantes como equipo A, al equipo con tres estudiantes como equipo B y al equipo con dos estudiantes como equipo C no cambiaría nuestra respuesta.
Habría que tener más cuidado si dos o más de los grupos tuvieran el mismo tamaño.
Supongamos que nuestros alumnos son Amanda, Brenda, Claire, Dennis, Edward, Fiona, Gloria, Henry e Iván.
¿De cuántas formas se pueden dividir nueve alumnos en tres equipos de tres personas sin etiquetar?
Si dividimos a los nueve estudiantes en equipos de tres, entonces el $3! = 6$ divisiones \begin{align*} & \{Amanda, Brenda, Claire\}, \{Dennis, Edward, Fiona\}, \{Gloria, Henry, Ivan\}\\ & \{Amanda, Brenda, Claire\}, \{Gloria, Henry, Ivan\}, \{Dennis, Edward, Fiona\}\\ & \{Dennis, Edward, Fiona\}, \{Amanda, Brenda, Claire\}, \{Gloria, Henry, Ivan\}\\ & \{Dennis, Edward, Fiona\}, \{Gloria, Henry, Ivan\}, \{Amanda, Brenda, Claire\}\\ & \{Gloria, Henry, Ivan\}, \{Amanda, Brenda, Claire\}, \{Dennis, Edward, Fiona\}\\ & \{Gloria, Henry, Ivan\}, \{Dennis, Edward, Fiona\}, \{Amanda, Brenda, Claire\} \end{align*} son todas equivalentes, ya que dan como resultado los mismos tres equipos. Por lo tanto, el número de formas de dividir la clase en tres equipos de tres sin etiquetar es $$\frac{1}{3!}\binom{9}{3}\binom{6}{3} = \frac{1}{3!} \cdot \frac{9!}{3!3!3!}$$ Dividimos por $3!$ para dar cuenta de la $3!$ órdenes en las que podríamos seleccionar los mismos tres equipos de tres.
¿De cuántas formas se pueden dividir los nueve estudiantes en tres equipos sin etiquetar de tamaños $2$ , $2$ y $5$ ?
Del mismo modo, si los equipos no están etiquetados y dividimos la clase en dos equipos de dos y un equipo de cinco, las dos divisiones \begin{align*} \{Amanda, Brenda\}, \{Claire, Dennis\}, \{Edward, Fiona, George, Henry, Ivan\}\\ \{Claire, Dennis\}, \{Amanda, Brenda\}, \{Edward, Fiona, George, Henry, Ivan\} \end{align*} son equivalentes, ya que dan como resultado los mismos tres equipos. Por lo tanto, el número de formas de dividir a los nueve estudiantes en dos equipos de dos y un equipo de cinco si los equipos no están etiquetados es $$\frac{1}{2!}\binom{9}{2}\binom{7}{2} = \frac{1}{2!} \cdot \frac{9!}{2!2!5!}$$ Dividimos por $2!$ para dar cuenta de la $2!$ órdenes en las que podríamos elegir los mismos equipos de tamaño dos.
Si en lugar de eso hubiéramos elegido primero al equipo de cinco, nos quedaríamos con cuatro personas. Se podría pensar que los dos equipos de dos personas podrían elegirse en $\binom{4}{2}$ formas, pero esto cuenta cada equipo dos veces, una cuando elegimos un equipo y otra cuando elegimos su complemento. Alternativamente, observe que si nuestro equipo de cinco está formado por Eduardo, Fiona, Gloria, Enrique e Iván, los dos equipos de dos se distinguen por quién está emparejado con Amanda. Hay tres formas de hacerlo: \begin{align*} \{Amanda, Brenda\}, \{Claire, Dennis\}\\ \{Amanda, Claire\}, \{Brenda, Dennis\}\\ \{Amanda, Dennis\}, \{Brenda, Claire\} \end{align*} Por lo tanto, el número de divisiones de nueve alumnos en dos equipos de dos y un equipo de cinco es $$\binom{9}{5} \cdot 3 = \binom{9}{5} \cdot \frac{1}{2}\binom{4}{2} = \frac{1}{2}\binom{9}{5}\binom{4}{2} = \frac{1}{2!} \cdot \frac{9!}{2!2!5!}$$
Observa que el equipo de cinco se distingue por su tamaño, mientras que los dos equipos de dos no. Los equipos de dos sólo se distinguen por quién está en cada equipo.
En resumen, los equipos de diferentes tamaños se distinguen por su tamaño, por lo que el orden en que se seleccionan no importa. Si tenemos equipos no etiquetados del mismo tamaño, tenemos que dividir por el número de órdenes en los que podríamos elegir los mismos equipos.
