Dominios de restricción para cuantificadores universales y existenciales

Question

Actualmente estoy utilizando "Matemáticas discretas y sus aplicaciones" (7ª ed.) de Rosen para mi curso de matemáticas discretas. Hace poco hablamos de los cuantificadores, más concretamente del cuantificador universal y existencial. Lo que me confunde es cuando empezamos a hablar de restringir el dominio (es decir, en lugar de todos los números reales, sólo todos los números reales positivos), ¿de dónde viene el enunciado condicional cuando se restringe el dominio de un cuantificador universal y de dónde viene la conjunción cuando se restringe el dominio de un cuantificador existencial?

Este enlace me ha ayudado: Cuantificador universal y existencial en lógica proposicional

Sin embargo, la parte que confunde aquí es ¿cómo se restringen los dominios en la respuesta dada en el enlace anterior?

Answer 1

La declaración de dominio restringido $~\forall x{\in} A ~ P(x)~$ dice: "Para todos $x$ en $A$ el predicado $P(x)$ retiene".

Esto equivale a decir: "Para todos $x$ , si está en $A$ , entonces el predicado $P(x)$ sostiene".

Que es $~\forall x~ \big(x\in A~\to~ P(x)\big)~$ .

Es un condicional en lugar de una conjunción para una afirmación universal porque, al restringir la afirmación a aquellos $x$ que se encuentran en $A$ No afirmamos nada sobre todas las $x$ que no están en $A$ . Por lo tanto, la restricción es no diciendo que todos $x$ están en $A$ sólo que si están ahí, entonces el predicado es verdadero para ellos.

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La declaración de dominio restringido $~\exists x{\in} A ~ P(x)$ dice: "Existe algún $x$ en $A$ donde el predicado $P(x)$ retiene".

Esto equivale a decir: "Existe algún $x$ que es en $A$ y el predicado $P(x)$ sostiene".

Que es $~\exists x~\big(x\in A~\wedge~ P(x)\big)~$ .

Se trata de una conjunción, ya que al restringir el dominio a $A$ no hacemos ninguna afirmación sobre $x$ que existe en otro lugar, sólo que hay alguna $x$ que hacen que el predicado sea verdadero, que son en $A$ .

Answer 2

Técnicamente, el dominio sobre el que cuantifican los cuantificadores es siempre el mismo. O, para ser exactos, no se cambia sobre qué cuantifican los cuantificadores usando condicionales o cualquier otro operador lógico. Por lo tanto, si dentro de algún contexto digo

$\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$

entonces el $\forall$ sigue cuantificando sobre exactamente el mismo conjunto de objetos que en:

$\forall x Q(x)$

Por supuesto, efectivamente la segunda afirma que todos los objetos tienen la propiedad $Q$ mientras que el primero dice que todos los $P$ de ese dominio tienen la propiedad $Q$ y así mira como si la cuantificación se produjera sobre un dominio más restringido (pasamos de "todos los objetos" a "todos los P").

Sin embargo, el primero dice realmente " Para todos los objetos del dominio : si eres un P entonces eres un Q", por lo que el universal todavía cuantifica sobre todo el dominio... ¡como siempre hacen y siempre harán!