Restricción de dominios para cuantificadores universales y existenciales

Question

Actualmente estoy usando el libro "Discrete Mathematics and Its Applications" de Rosen (7ma edición) para mi curso de matemáticas discretas. Recientemente hablamos sobre cuantificadores, más específicamente el cuantificador universal y existencial. Lo que me confunde es cuando empezamos a hablar sobre la restricción del dominio (es decir, en lugar de todos los números reales, solo todos los números reales positivos), ¿de dónde viene la afirmación condicional al restringir el dominio de un cuantificador universal y de dónde viene la conjunción al restringir el dominio de un cuantificador existencial?

Este enlace me ayudó: Universal and Existential quantifier in Propositional logic

Sin embargo, la parte que me confunde aquí es ¿cómo se restringen los dominios en la respuesta dada en el enlace de arriba?

Answer 1

La declaración de dominio restringido $~\forall x{\in} A ~ P(x)~$ se lee, "Para todo $x$ en $A$, se cumple el predicado $P(x)".

Esto es equivalente a decir, "Para todo $x$, si está en $A$, entonces se cumple el predicado $P(x)".

Lo cual es $~\forall x~ \big(x\in A~\to~ P(x)\big)~$.

Es una condición en lugar de una conjunción para una declaración universal porque, al restringir la afirmación a aquellos $x$ que están en $A$, no estamos haciendo ninguna afirmación sobre todos los $x$ que no están en $A.   Por lo tanto, la restricción no está diciendo que todos los $x$ están en $A$, solo que si están allí, entonces el predicado es verdadero para ellos.

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La declaración de dominio restringido $~\exists x{\in} A ~ P(x)$ se lee, "Existe algún $x$ en $A$, donde el predicado $P(x)$ se cumple".

Esto es equivalente a decir, "Existe algún $x$, que está en $A$ y el predicado $P(x)$ se cumple".

Lo cual es $~\exists x~\big(x\in A~\wedge~ P(x)\big)~$.

Esto es una conjunción, porque al restringir el dominio a $A$ no estamos haciendo ninguna afirmación sobre ningún $x$ que exista en otro lugar, solo que hay algún $x$, que hace que el predicado sea verdadero, que está en $A$.

Answer 2

Técnicamente, el dominio sobre el que cuantifican los cuantificadores siempre es el mismo. O, para ser exactos, no se cambia lo que los cuantificadores cuantifican mediante el uso de condicionales u cualquier otro operador lógico. Por lo tanto, si dentro de algún contexto digo:

$\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$

entonces el $\forall$ aún cuantifica sobre el mismo conjunto exacto de objetos que en:

$\forall x Q(x)$

Por supuesto, efectivamente, la última afirmación dice que todos los objetos tienen la propiedad $Q$, mientras que la primera dice que todos los $P$'s de ese dominio tienen la propiedad $Q$, y así parece que la cuantificación está ocurriendo sobre un dominio más restringido (pasamos de "todos los objetos" a "todos los P's").

Sin embargo, la primera realmente dice "Para todos los objetos del dominio: si eres un P entonces eres un Q", así que el universal todavía cuantifica sobre todo el dominio ... ¡como siempre lo hacen y siempre lo harán!