definición de función meromorfa : puede tener singularidades removibles

Question

Me gustaría saber la definición de función meromorfa. Normalmente veo la definición de función meromorfa como sigue: Sea $D\subset\mathbb C$ sea un conjunto abierto conexo, una función $f$ definido en un subconjunto $U$ de $D$ y con valor en $\mathbb C$ es meromorfa en $D$ si se cumplen las siguientes condiciones:

1. $P(f)=D\setminus U$ es un conjunto de polos
2. $P(f)$ es discreto en $D$
3. $f$ es holomorfa en $U$ .

Sin embargo, en el libro " Complex anlysis for mathematics and engineering" de John H. Mathews y Russel W. Howeell, $P(f)=D\setminus U$ es un conjunto de polos y singularidades removibles.

Creo que las singularidades extraíbles no son singularidades reales, ya que podemos extender la función a la función holomorfa. Por lo tanto, dos definiciones pueden ser casi lo mismo.

Me gustaría saber qué piensan los demás sobre esta cuestión.

¿Podría hacer algún comentario sobre esta pregunta? Gracias de antemano.

Answer 1

Efectivamente, las singularidades removibles pueden eliminarse. Supongo que lo que quieren decir los autores es lo siguiente. Supongamos que inicialmente se nos presenta una función definida, digamos, por una fórmula $f(z) = A(z)/B(z)$ donde $A$ y $B$ son holomorfas en $D$ . Este no está definido en los ceros de $B$ formando un conjunto discreto en $D$ . Pueden ser singularidades o polos extraíbles, y puede costar trabajo averiguar cuál es cuál. Pero se puede decir que la función es meromórfica en $D$ .

Answer 2

Iba a escribir una respuesta a mi pregunta similar pero se me cerró así que responderé a esta pregunta en su lugar. La mayoría de los autores dicen que una función $f$ es meromorfa en $D$ si es analítica excepto en un conjunto discreto de polos. Sin embargo, eso puede dar lugar a algunos inconvenientes, como se señala en mi pregunta ¿Puede una función meromorfa tener singularidades removibles? .

Así que es razonable considerar las singularidades removibles en la definición de función meromorfa. Un posible arreglo a la definición de función meromorfa (uno sin considerar demasiados casos) es el siguiente:

Sea $D$ sea un subconjunto conexo abierto de $\mathbb{C}$ . Una función $f$ es meromorfa en $D$ si para todo $a\in D$ hay $\delta>0$ tal que o bien $f$ es holomorfa en $B(a,\delta)$ ( $a$ y radio $\delta$ ) o $f$ es holomorfa en $B(a,\delta)-\{a\}$ , indefinido en $a$ pero existe un número entero positivo $m$ tal que

$$\begin{equation} \lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)=0 \end{equation}$$

No es tan trivial demostrar que la definición habitual y ésta son equivalentes.

Imaginemos que se da la segunda situación y $m_0$ es el menor de dichos números enteros $m$ satisfaciendo el límite. Si $m_0=1$ entonces $a$ es una singularidad removible. Si $m_0\ge 2$ entonces $a$ es un polo. Esto tampoco es tan fácil de demostrar.

Estas cosas pueden ser útiles para demostrar, por ejemplo, que el cociente de dos funciones meromorfas vuelve a ser meromorfo.