¿Es mi prueba de $C_G(H) \le N_G(H)$ ¿correcto?

Question

Sea $x\in C_G(H)$ . Es decir $xh = hx$ para todos $h \in H$ . Entonces $xH = Hx$ (Esta es la parte de la que no estoy tan seguro). Por lo tanto, $x \in N_G(H)$ por lo que tenemos $C_G(H) \le N_G(H)$ .

Answer 1

Sí, eso es completamente correcto. Para ver explícitamente la parte de la que no está seguro, ya que $$xH := \{xh:h\in H\}$$ y $x\in C_G(H)$ para que $xh = hx$ para todos $h\in H$ es cierto que $$xH = \{xh:h\in H\}=\{hx:h\in H\} =Hx.$$

Answer 2

Otra forma de verlo es la siguiente. $N_G(H)$ actúa sobre $H$ Por conjugación como automorfismos. El núcleo de esta acción es precisamente $C_G(H)$ . Así que incluso $C_G(H) \unlhd N_G(H)$ y el cociente, $N_G(H)/C_G(H)$ se incrusta homomórficamente en (por lo que puede considerarse un subgrupo de) Aut $(H)$ .