Explicación de la torsión de E_8

Question

Para estudiar la topología de los grupos de Lie, se pueden descomponer en los compactos simples, más algunos pasos adicionales, como tomar la cubierta si es necesario. Después de eso, la estructura de $SO(n)$ es bastante sencillo, pero los grupos excepcionales son más interesantes.

Cualquier grupo de Lie compacto simple, mediante la teoría del álgebra de Hopf, tiene la racional homología de un producto $$S^a \times S^b \times \dots \times S^z$$ donde los números se llaman exponentes . Además, su cohomología también podría tener torsión . Ahora se conoce la torsión para todos los grupos:

• Entre los grupos clásicos, sólo es posible la 2-torsión y sólo para $Spin(n)$
• Los grupos excepcionales sólo pueden tener 2 y 3 torsiones (la mayoría las tienen), a excepción de:
• $E_8$ que tiene 2, 3 y 5 torsiones.

Bueno, esto es encuadernado estar relacionado con $E_8$ que es 30, pero ¿hay alguna pista de por qué? Mi referencia sería math-ph/0212067 pero tampoco puede relacionarlo con el número de Coxeter.

Para la referencia, exponentes se sabe que están relacionados con el número de Coxeter, véase Kostant, El subgrupo tridimensional principal y los números de Betti de un grupo de Lie simple complejo (búsqueda en google).

¿Es un problema abierto? Quizá sí, pero quizá ya se haya explicado, así que por ahora lo publico tal cual.

Answer 1

Esto no responde directamente a tu pregunta, pero te da una forma de pensar sobre la torsión en la cohomología de los grupos de Lie en general.

(Todo esto procede de la obra de Borel y Serre Sur certains sous-groupes des groupes de Lie, que se puede encontrar en Commentarii mathematici Helvetici Volumen 27, 1953)

Como ya se ha mencionado, todo grupo compacto de mentira es racionalmente un producto de esferas Impares. Pero, ¿cuántas esferas impar? Resulta que si G es compacto y de rango k, entonces es racionalmente un producto de k esferas (de varias dimensiones).

Existe un resultado análogo para la torsión. Es decir, se puede definir el 2-grupo de G como cualquier subgrupo que es isomorfo a $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ o algún n. Se define el 2-rango de un grupo como el máximo $n$ de cualquier 2-grupo en G. (On puede demostrar que para conectadas $G$ el rango 2 está limitado por el doble del rango y, por tanto, es finito).

Sólo para señalar algo que realmente me confundió cuando me enteré de estos - mientras que el rango es un invariante del álgebra (es decir, todos los grupos de Lie con el mismo álgebra tienen el mismo rango), el 2-rango de un Grupo NO es un invariante del álgebra. Por ejemplo, el rango 2 de SU(2) es 1 (de hecho, -Id es el elemento ÚNICO de SU(2) de orden 2), mientras que el rango 2 de SO(3) es 2 (generado por diag(-1,-1,1) y diag(-1,1,-1) ). El rango 2 de O(3) es 3 (generado por diag(-1,1,1), diag(1,-1,1) y diag(1,1,-1) ).

Ahora, dado $T\subseteq G$ , el toro maximal, está claro que simplemente tomando el 2-grupo maximal en T, que el 2-rango de G es AL MENOS el rango de G. ¿Cuándo es estrictamente mayor? Precisamente cuando el grupo G contiene 2-torsión.

El resultado análogo para grupos p y torsión p (p cualquier primo) también es válido.

En resumen, para comprender la existencia de la 5-torsión en $E_{8}$ basta con comprender por qué existe un subgrupo isomorfo a $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^n\subseteq E_8$ para algunos $n\geq 9$ .

Answer 2

JP Serre, en su conferencia Bourbaki de junio de 1999 "Sous-groupes finis des groupes de Lie", da las dos referencias siguientes para la torsión en grupos de Lie

R. STEINBERG - Torsión en grupos reductores, Adv. in Math. 15 (1975), 63-92

y

A. BOREL - Subgrupos conmutativos y torsión de grupos de Lie compactos grupos, T^ohoku Math. J. 13 (1961), 216-240.

Por cierto, la charla sobre Bourbaki está en la página del Colegio de Francia de Serre

http://www.college-de-france.fr/media/ins_pro/UPL61366_Serre_Bourbaki_864.pdf

Espero que esto ayude.

Answer 3

Echa un vistazo a "Finite H-spaces and Lie Groups" de Frank Adams, en particular a la sección carta de E8 y el apéndice que le sigue.

Answer 4

No conozco la respuesta a su pregunta, por lo que lo que sigue puede ser simplemente un reenvío del misterio, o puede estar totalmente relacionado, y en cualquier caso, es probable que ya sea conocido por usted. Los números 2, 3, 5 recuerdan a una de las simetrías del icosaedro, que está relacionada con E ₈ por la correspondencia McKay (véase http://math.ucr.edu/home/baez//ADE.html ). Los diagramas de Dynkin ADE están relacionados con subgrupos finitos de SU(2) que incluyen grupos cíclicos, grupos diedros y las tres simetrías excepcionales: tetraédrica, octaédrica e icosaédrica.

Answer 5

Para lanzar un poco más de numerología de otro seminario Bourbaki de Serre: Cohomología de Galois: progresos y problemas. Seminario Bourbaki, 36 (1993-1994), Documento nº 783, 29 p. [ disponible en numdam ]. En \S 2.2 se refiere a torsiones relacionadas con grupos de Lie en dos sentidos, según tengo entendido, el segundo está relacionado con el grupo de automorfismos del diagrama de Dynkin completado.