Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $f'(x)$ existe para todas las $x\in [a,b]$ (derivados de los endpoints $a,b$ son a una cara) y satisface $|f'(x)|<1, \forall x\in [a,b]$ $f$ necesariamente una contracción (es decir,$|f(x)-f(y)|\leq c|x-y|$, para algunas de las $0<c<1$)?
He tratado de demostrar por contradicción. Definir $E=\left\{\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}: x\neq y\in [a,b]\right\}\neq \emptyset$. Por medio del teorema del valor, $|f(x)-f(y)|<|x-y|,\forall x\neq y\in [a,b]$. Por lo tanto, $E$ tiene un límite superior $1$, por lo tanto la menor cota superior de a $s=\sup E\leq 1$. Supongamos que $s=1$, tome $\epsilon_n=\dfrac{1}{n}$, podemos encontrar $a_n=\dfrac{|f(x_n)-f(y_n)|}{|x_n-y_n|}\in E$ tal que $1-\dfrac{1}{n}<a_n<1$, por lo tanto una secuencia $\{a_n\}$ con límite de $1$.
Para las dos secuencias $\{x_n\},\{y_n\}$,$x_n<y_n$. De acuerdo a Bolzano-Weierstrass Teorema, existen subsecuencias $\{x_{n_k}\},\{y_{n_k}\}$ convergentes a $x_0,y_0$,respectivamente. Si $x_0\neq y_0$，a continuación, ya $a_{n_k}$ converge a $1$, podemos obtener el $\dfrac{|f(x_0)-f(y_0)|}{|x_0-y_0|}=1$, lo cual es una contradicción.
La prueba se queda atascado en el caso de $x_0=y_0$. Desde la siguiente proposición puede fallar para mantener si $x_n<x_0=y_0<y_n$ no tiene.
Si $x_n<x_0<y_n$ ambos $\{x_n\},\{y_n\}$ convergen a $x_0$ $f'(x_0)$ existe,$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}=f'(x_0)$.
Y ahora no sé si la original propuesta sostiene. Si añadimos la condición de que el derivado $f'$ es continua en a $[a,b]$, luego por el teorema del valor máximo, $f$ es sin duda una contracción. Por lo tanto, si hay algún contraejemplo, a continuación, $f'$ debe ser discontinua.
Ya que algunas de texto requiere una contracción asigna un espacio en sí mismo, ¿cómo sobre la adición esto como una condición, es decir, considerar la posibilidad de $f:[a,b]\to [a,b]$?
