Significado preciso de $\ll_{n, \varepsilon}$ en teoría de números

Question

Al leer este artículo de Dietmann me encontré con la siguiente línea

$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$

que aparece en el enunciado del Teorema $1$ . ¿Qué significa exactamente el símbolo $\ll_{n, \varepsilon}$ en este contexto?

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Dietmann no explica qué significa esta notación, y yo nunca la había visto. El lado izquierdo de esta "desigualdad" no depende de $\varepsilon$ contrario a esta pregunta pero de la lectura de la respuesta allí mi conjetura es

Para todos $\varepsilon > 0,$ existen constantes $M, K > 0$ tal que para todo $n > M$ tenemos que $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$ .

Después de leer esta entrada del blog de Terence Tao y mirando su enunciado de la conjetura ABC (que utiliza la notación $\ll_\varepsilon$ ), y observando la correspondiente Página de Wikipedia que expresa la conjetura ABC en términos de cuantificadores, creo que $N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$ también podría significar

Para todos los números enteros $n \geq 1$ , $\varepsilon > 0$ existe una constante $K$ tal que $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}.$

Answer 1

$X \ll_{n,\epsilon} Y$ normalmente significa que hay una "constante" $C$ que depende de los parámetros $n$ y $\epsilon$ tal que $X \leq C \cdot Y$ . Esto es significativo si se tiene en cuenta $X$ y $Y$ como funciones de alguna otra variable además de $n$ y $\epsilon$ y tratar $n$ y $\epsilon$ como parámetros.