El conjunto de $p$ -de algunos números fijos $n^ {\rm th}$ -residuos de energía

Question

Hola, Considere el conjunto $\lambda P_n \subset \mathbb{Q}_p$ donde $\lambda \in \mathbb{Q}_p^{\times}$ y $P_n$ es el conjunto $\lbrace x \in \mathbb{Q}_p \mid \exists y \in \mathbb{Q}_p x= y^n\rbrace$ . ¿Hay alguna forma de medir $\lambda P_n \cap B(r)$ para $r$ en $\mathbb{R}_{>0}$ la bola de radio $r$ (con medida Haar)?

Además, ¿es $\mathbb{Q}_p^{\times}/ P_n^{\times}$ finito? ¿cuál es su valor? Gracias.

Answer 1

Lo que denota $P_n$ se suele denominar $\mathbf{Q}_p^{\times n}$ la imagen del endomorfismo $(\ )^n$ de $\mathbf{Q}_p^\times$ .

Para calcular el cociente $\mathbf{Q}_p^\times/\mathbf{Q}_p^{\times n}$ recordemos que existe una secuencia exacta $$ 1\to\mathbf{Z}_p^\times\to\mathbf{Q}_p^\times\to\mathbf{Z}\to1 $$
que puede dividirse enviando $1\in\mathbf{Z}$ a cualquier uniformizador $\pi$ (como $\pi=p$ ) de $\mathbf{Q}_p$ . Además, existe una secuencia exacta $$ 1\to U_1\to\mathbf{Z}_p^\times\to\mathbf{F}_p^\times\to1 $$ que tiene una división canónica $\tau:\mathbf{F}_p^\times\to\mathbf{Z}_p^\times$ (el ascensor de Teichmüller) y $U_r=1+p^r\mathbf{Z}_p$ es el grupo de unidades $\equiv1\pmod{p^r}$ . Tenga en cuenta que $U_1$ es un $\mathbf{Z}_p$ -que es libre de rango $1$ si $p\neq2$ ; si $p=2$ entonces $U_1=\mu_2\times U_2$ donde $\mu_2$ es el orden- $2$ grupo formado por $1$ y $-1$ y el $\mathbf{Z}_2$ -módulo $U_2$ no tiene rango $1$ .

Como resultado, la elección de un uniformizador $\pi$ conduce a un isomorfismo $$ \mathbf{Q}_p^\times=U_1\times\mathbf{F}_p^\times\times\pi^{\mathbf{Z}} $$ que permite determinar $\mathbf{Q}_p^\times/\mathbf{Q}_p^{\times n}$ . Por ejemplo, si $n$ es primo de $p$ entonces $$ \mathbf{Q}_p^\times/\mathbf{Q}_p^{\times n} =\mathbf{F}_p^\times/\mathbf{F}_p^{\times n}\times\pi^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} $$ y si $n=p$ entonces $$ \mathbf{Q}_p^\times/\mathbf{Q}_p^{\times p} =U_1/U_1^p\times\pi^{\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\qquad p\neq2 $$ y $$ \mathbf{Q}_2^\times/\mathbf{Q}_2^{\times 2} =U_2/U_2^2\times\mu_2\times\pi^{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}. $$ Tenga en cuenta, por último, que $U_1^p=U_2$ si $p\neq2$ y $U_2^2=U_3$ si $p=2$ . Consideraciones similares permiten demostrar que $\mathbf{Q}_p^\times/\mathbf{Q}_p^{\times n}$ es finito para cada $p$ y cada $n>0$ y calcular su cardinalidad.

Véase, por ejemplo, la obra de Serre Curso de aritmética o cualquier libro sobre campos locales.