¿Cómo calcular la dimensión de Hausdorff de una forma "semi" autosimilar?

Question

La esencia de los fractales autosimilares es que al reescalar la forma original y pegar una serie de idéntico copias producirán la misma forma general. En curva cuadrática de tipo 2 es un ejemplo de fractal. Se reduce la forma original en un factor de $1/4$ y reconstruir $8$ copias para obtener el mismo fractal:

El resultado es un fractal de dimensión $\log_{4}{8} = 1.5$ :

Lo que me interesa y lo que quiero decir con "semi" autosimilar es fractales donde hay de forma diferente copias a escala de la forma que componen la imagen completa. Por ejemplo, si el "centro" vertical de la curva cuadrática de tipo 2 se trata como una iteración, en lugar de dos, entonces la copia de la curva que compone este trozo sólo se escala en $1/2$ mientras que todas las demás piezas se escalan por el original $1/4$ . Esto acaba produciendo un fractal de aspecto bastante diferente:

Estructura básica:

Fractal límite:

Otro ejemplo sería un fractal "aleta de tiburón", similar al copo de nieve de Koch, pero en el que el "tercio medio" tiene un triángulo rectángulo con altura $1/3$ y la hipotenusa $\sqrt{2}/3$ :

Estructura básica:

Fractal límite:

Cualquier idea sobre cómo calcular las dimensiones de Hausdorff de tales formas sería muy apreciada.

Answer 1

La dimensión de similitud de $\log_4 8$ proviene de resolver $8\left(\frac{1}{4}\right)^s = 1$ . La dimensión de su fractal modificado es la solución de $6\left(\frac{1}{4}\right)^s + \left(\frac{1}{2}\right)^s = 1$ que Wolfram Alpha me dice es $s = \log_2 3$ . En general, puede que no exista una buena solución de forma cerrada, y de hecho su fractal de "aleta de tiburón" requiere resolver $3\left(\frac{1}{3}\right)^s + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^s = 1$ que Wolfram Alpha%5Es%3D1) da numéricamente como $s \approx 1.393\ldots$ .

No estoy seguro de qué es necesario para demostrar que esta dimensión de similitud es igual a la dimensión de Hausdorff, probablemente implique demostrar que la forma satisface una "condición de conjunto abierto" (esencialmente, que no se auto-superpone demasiado).