Definiciones: ( En Categorías de tipos por Roy L. Crole. )
A pedido anticipado en un conjunto $X$ es una relación binaria $\leq$ en $X$ que es reflexivo y transitivo.
A preordered set $(X, \leq)$ es un conjunto dotado de un preorden.... Cuando no pueda haber confusión, nos referiremos al conjunto preordenado $X$ o a veces sólo el pedido anticipado $X$ .
Si $x \leq y$ y $y \leq x$ entonces escribiremos $x \cong y$ y decir que $x$ y $y$ son isomorfo elementos.
Dados dos conjuntos preordenados $A$ y $B$ El orden puntual sobre el producto cartesiano $A \times B$ se define como $(a,b) \le (a',b')$ sólo si $a \le a'$ y $b \le b'$ ). El resultado es un preorden.
Un subconjunto $C$ de un pedido anticipado $X$ se denomina cadena si para cada $x,y \in C$ tenemos $x \leq y$ o $y \leq x$ .... Diremos que un preorden $X$ es un cadena ... si el conjunto subyacente $X$ es tal. ( p.8 )
Ejercicio:
Sea $C$ y $C'$ ser cadenas. Demostrar que el conjunto de pares $(c, c')$ donde $c \in C$ y $c' \in C'$ con el orden puntual es también una cadena sólo en el caso de que a lo sumo uno de $C$ o $C'$ tiene más de un elemento. ( p.9 )
Solución propuesta:
Supongamos que $C$ es un preorden con más de un elemento tal que para cada $a, b \in C, a \cong b$ . Entonces, por la definición dada anteriormente, $C$ es una cadena. Supongamos ahora que $C'$ es una cadena (sin propiedades adicionales). Afirmo que $C \times C'$ es una cadena.
Prueba
Sea $(c_1, c'_1), (c_2, c'_2) \in C \times C'$ . Entonces $c_1 \cong c_2$ y ( $c'_1 \le c'_2$ o $c'_2 \le c'_1$ ). Así que $c_1 \le c_2$ y $c_2 \le c_1$ . Si $c'_1 \le c'_2$ entonces $(c_1, c'_1) \le (c_2, c'_2)$ . Si $c'_2 \le c'_1$ entonces $(c_2, c'_2) \le (c_1, c'_1)$ .
Pregunta: Esto parece ser un contraejemplo a la afirmación que se me pide que demuestre. Está la pregunta equivocada o me he perdido algo?
