Convergencia de los sistemas no lineales

Question

¿Hay alguna manera de estar seguro de que simple esquemas de iteración, como Gauss-Jacobi y Gauss-Seidel convergerán para no lineal sistemas? Entiendo que para los sistemas lineales, la matriz A tiene que ser diagonalmente dominante para que la iteración G-J, etc. converja, pero no puedo encontrar nada en línea sobre la convergencia de los sistemas no lineales. Un ejemplo puede ayudar:

$x(A-3x-4y)=0$ ;

$y(B-2x-y)=0$

Gracias, he estado luchando por un tiempo.

Answer 1

Nos centramos en el segundo exa $$x_{j+1}=1-y_j,\\y_{j+1}=\sqrt{9-x_{j+1}^2}.$$

Podemos eliminar $x$ para reducirlo a un problema de una sola variable

$$y_{j+1}=\sqrt{9-(1-y_j)^2}=f(y_j).$$

Resolviendo la ecuación, sabemos que

$$y=\frac{\sqrt{17}+1}2$$ es un punto fijo.

Como la derivada

$$|f'(y)|=\left|\frac{1-y}{\sqrt{9-(1-y)^2}}\right|=\left|\frac{\sqrt{17}-9}8\right|<1$$ en el punto fijo, la convergencia lineal está garantizada (tenemos un mapa de contracción).

De todos modos, tenemos que discutir la cuenca de atracción de este punto fijo.

$f$ se define sobre $[-2,4]$ tiene un único máximo en $(1,3)$ y alcance $[0,3]$ . $f$ también es convexa. Así que después de una iteración, $f(y)\in[0,3]$ y después de dos iteraciones $f(y)\in[\sqrt5,\sqrt8]$ donde la función es monótona.

Entonces la mayor pendiente en este rango está en $\left(\sqrt8,\dfrac{1-2\sqrt2}{2\sqrt[4]2}\right)$ de modo que la constante de Lipschitz $0.8$ retenciones. La convergencia está garantizada a partir de cualquier $y\in[-2,4]$ .