He estado jugando con algunas ideas topológicas de la Teoría de Galois, y he descubierto que es fácil forzar un intercambio de las raíces en una ecuación cuadrática si arrastro lentamente uno de los coeficientes alrededor del origen, devolviéndolo al punto de partida. Pero no puedo hacer lo mismo fácilmente con una cúbica. Puedo tomar una ecuación como x^3 + 7x -11 = 0, puedo arrastrar el 7 o el 11 en un gran círculo alrededor del origen, pero no puedo intercambiar las dos raíces complejas (o cualquier otro par de raíces). A veces puedo forzar una permutación cíclica, y a veces las raíces serpentean y vuelven a donde empecé (dependiendo de con qué ecuación cúbica empiece). Pero no he sido capaz de permutar dos raíces. ¿Hay alguna razón para esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos escribir de forma bastante explícita cómo es un camino a través del espacio de cúbicos con raíces distintas que transpone dos raíces, incluso un camino que mantiene un término cuadrático cero: tomemos las tres raíces como $r_1(t) = e^{it}, r_2(t) = - e^{it}, r_3(t) = 0$ donde $t \in [0, \pi]$ (para que $r_1(0) = r_2(\pi) = 1, r_2(0) = r_1(\pi) = -1$ ). Esto da el polinomio cúbico
$$(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = x^3 - e^{2it} x$$
que tiene un término lineal que va en círculo alrededor del origen y un término constante cero.
Obtener un ejemplo en el que el término constante sea distinto de cero es un poco más molesto si se insiste en mantener el término cuadrático en cero (es fácil sin esto, basta con traducir el ejemplo anterior); esto equivale a exigir que $\frac{1}{r_1(t)} + \frac{1}{r_2(t)} + \frac{1}{r_3(t)} = 0$ lo que hace que las fórmulas sean menos agradables. Podemos tomar
$$\frac{1}{r_1(t)} = 2 + e^{it}$$ $$\frac{1}{r_2(t)} = 2 - e^{it}$$ $$\frac{1}{r_3(t)} = -4$$
que da el polinomio cúbico
$$(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = x^3 - \left( \frac{4}{4 - e^{2it}} - \frac{1}{4} \right) x - (16 - 4e^{2it}).$$
Así que el término constante viaja en círculo. El término lineal también lo hace, porque es un inversión de un círculo. Si tomas el camino para ser $t \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \right]$ incluso tienes un ejemplo en el que las dos raíces que se intercambian empiezan siendo complejas.
No sé qué pasa si sólo haces girar en círculos los términos constante y lineal por separado. Lo que puede estar pasando ahí es lo siguiente: si mueves ambos términos libremente estás trabajando en el espacio de cúbicas (mónicas) con raíces distintas y término cuadrático cero, que se puede identificar con el complemento en $\mathbb{C}^2$ del lugar cero del discriminante, que para un polinomio cúbico $x^3 + px + q$ con término cuadrático cero toma la forma $\Delta = - 4p^3 - 27 q^2$ . Creo que este complemento es homotópicamente equivalente al complemento del nudo trébol En cualquier caso, existe un lugar geométrico algo complicado de puntos que no se pueden cruzar y, si no se toman bucles suficientemente complicados, es posible que no se pueda generar todo el grupo fundamental (que es el famoso grupo de trenzas). $B_3$ también el grupo fundamental de todo el espacio de configuración $C_3(\mathbb{C})$ también conocido como el espacio de los cúbicos (mónicos) con raíces distintas).
Acabo de encontrar una página bastante agradable que explica la conexión con los espacios de configuración y el nudo trébol (¡con imágenes y un vídeo!) aquí .
