Ejemplo de una secuencia de funciones integrables en $[0,1]$ s.t. $\lim_{n\to\infty}\int_0^1|f_n(x)|\,dx = 0$ pero $f_n$ no converge a $0$ ¿a.e?

Question

Necesito un ejemplo de una secuencia de funciones integrables en $[0,1]$ s.t. $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 |f_n(x)|\,dx = 0$$

pero $f_n$ no converge a $0$ a.e.

¿Alguien puede proporcionar un ejemplo con una explicación detallada? gracias.

Conozco el ejemplo de la función indicadora que divide $[0,1]$ como $[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1]$ y $[0,\frac{1}{3}]$ ... Quiero ver uno diferente. Gracias.

Answer 1

Sea $f_1(x)=1_{[0,1]}(x)$ (que es idénticamente $1$ en $[0,1]$ ).

Sea $f_2(x)=1_{[0,1/2]}(x)$ y $f_3(x)=1_{[1/2,1]}(x)$ .

Sea $f_4(x)$ , $f_5(x)$ , $f_6(x)$ y $f_7(x)$ sean los indicadores de $[0,1/4]$ , $[1/4,1/2]$ , $[1/2,3/4]$ y $[3/4,1]$ respectivamente.

Y en general: definir $f_{2^n}(x)$ a través de $f_{2^{n+1}-1}(x)$ sean los indicadores de $[0,1/2^n],\ldots,[1-1/2^n,1]$ respectivamente.

Entonces $$\int_0^1f_n(x)\,dx=\frac{1}{2^m},\qquad 2^m\leq n<2^{m+1},$$ para que $\int_0^1 f_n(x)\,dx\to0$ como $n\to\infty$ . Pero, cada $x\in[0,1]$ satisface $f_n(x)=1$ para infinitas $n$ .

Answer 2

Tomemos la función indicadora/característica de $[0,1/2]$ para $f_1$ y lo mismo en el intervalo $[1/2,1]$ para $f_2$ y lo mismo en el intervalo $[0,1/3]$ para $f_3$ así como el indicador sobre $[1/3,2/3]$ para $f_4$ etc.

De este modo, es evidente que las integrales convergen a $0$ ya que las áreas de los rectángulos son cada vez más pequeñas. Pero $f_n$ no converge a $0$ casi en todas partes (¿por qué?).

Answer 3

Para $n\ge 1$ y $0\le k<2^n$ $$f_{2^n+k} \left(x\right) = \chi_{\left[\frac{k}{2^n}, \ \frac{k+1}{2^n} \right]} \left(x\right).$$

cuando $\chi_{\left[a,b\right]}$ es la función indicadora de $\left[a,b\right]$ .

Y entonces $$\lim_{2^n+k\to\infty}\int_{\left[0,1\right]}\left|f_{2^n+k}\left(x\right)\right|dx= \lim_{2^n+k\to\infty}\frac{1}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$$

Y también para todos $x\in\left[0,1\right]$ $$\limsup_{n\to\infty}f_n\left(x\right)=1,$$ lo que significa, en particular, que $f_n$ no converge a $0$ casi seguro.