Sea $f$ sea una función analítica sobre un conjunto abierto $G$ . Sea $z\in G$ . Sea $\{z_n\}$ y $\{w_n\}$ sean dos secuencias en $G$ que converge a $z$ . Entonces demuestre que $lim_{n \to \infty} \frac{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}=f'(z)$ . Parece que esto debería seguirse simplemente por la definición de diferenciabilidad. Pero, ¿podemos hacer la demostración en $\epsilon$ y $n$ ¿argumento? También pensé en mantener una n fija digamos para $\{z_n\}$ y dejando que otro n tienda a infinito podemos obtener $\frac{f(z_n)-f(z)}{z_n-z}$ que convergerá a $f'(z)$ . Pero no pude escribir un argumento adecuado para esto. Cualquier sugerencia sería útil.
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Utilicemos la expansión de Taylor de $f$ . Supongamos que $w_n,z_n \to z_0$ y que $\sum_{n \ge 0} a_n (z-z_0)^n$ sea la expansión de Taylor de $f$ en torno a $z_0$ . Entonces $$ f(z_n) - f(w_n) = \sum_{n \ge 0} a_n \left( (z_n-z_0)^n - (w_n-z_0)^n \right) \\ = \sum_{n \ge 1} a_n \left( (z_n-w_n) \left(\sum_{i=0}^{n-1} (z_n-z_0)^i (w_n-z_0)^{n-1-i} \right) \right) \\ = a_1(z_n-w_n) + (z_n - w_n) \left( \sum_{n \ge 2} a_n \left(\sum_{i=0}^{n-1} (z_n-z_0)^i (w_n-z_0)^{n-1-i} \right) \right). $$ Dividiendo por $z_n - w_n$ y dejando $n \to \infty$ demuestra que $$ \lim_{n \to \infty} \frac{f(z_n) - f(w_n)}{z_n-w_m} = a_1 = f'(z_0) $$ ya que todos los términos de la gran suma son cero (porque $z_n,w_n \to z_0$ ). Para más detalles, si $|z_n-z_0|,|w_n-z_0| < \varepsilon$ entonces el valor absoluto de la gran suma es $\le \sum_{n \ge 2} |a_n| \varepsilon^{n-1}$ que va a $0$ con $\varepsilon$ ya que es igual a $g(\varepsilon)$ donde $$ g(w) = \frac{f(z_0+w) - a_0 - a_1w}{w} $$ que es analítica cuando $f$ es analítica.
Espero que le sirva de ayuda,
