Mi profesor dijo que no podemos expresar una matriz cuadrada como producto de una matriz triangular superior y una triangular inferior, aunque sí se puede expresar como producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. No me convence su respuesta. ¿Tiene razón o no?
Respuesta
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De hecho, siempre es posible. Esto se puede ver comprendiendo que se puede obtener una matriz triangular inferior a partir de una triangular superior, y viceversa, simplemente invirtiendo el orden de indexación.
Supongamos que $A$ es la matriz en cuestión, y sea $\tilde{A}$ sea la misma matriz pero con los índices reordenados a la inversa, en particular $\tilde{A} = PAP$ donde $P$ es la matriz de permutación que invierte el orden de los índices; $P$ es una matriz cuadrada formada por todos los ceros excepto por $1$ s en la antidiagonal (la diagonal de la matriz que va desde abajo a la izquierda hasta arriba a la derecha). Entonces $\tilde{A}$ tiene un $LU$ descomposición. Pero ahora basta con invertir los índices de nuevo, y esto da una descomposición de $A$ en $\tilde{U} \tilde{L}$ donde $\tilde{U} = PUP$ y $\tilde{L} = PLP$ con $L,U$ siendo el $LU$ factores de $\tilde{A}$ .
