Encontrar un subespacio de $\mathbb{R}^4$ para lo cual $x^T*A*x$ = 0

Question

Dada una matriz $A$ encontrar un subespacio bidimensional $V \subset\mathbb{R}^4$ para lo cual $\forall x \in V : x^TAx=0$

$$A = \begin{pmatrix}1&2&0&1\\ 2&3&1&1\\ 0&1&0&1\\ 1&1&1&-1 \end{pmatrix}$$

Entiendo que tengo que encontrar un subespacio cuya imagen respecto a la matriz $A$ es ortogonal a sí mismo (subespacio original).

$$Ax = y$$ $$ x^Ty = 0 \iff x \perp y $$

La cuestión es cómo hacerlo. Sé que podría construir 4 ecuaciones cuadráticas directamente a partir de $x^TAx=0$ pero creo que tiene que haber una manera más fácil de hacer las cosas.

EDIT: Ok, en realidad no puedo, como mucho soy capaz de construir una ecuación que no me ayuda mucho.

Answer 1

Puede que hayan mencionado o no el nombre Hermite, o Witt, en esta zona. La idea es empezar por la esquina superior izquierda, elegir coeficientes en un cuadrado, quizá con un coeficiente constante, que borre la primera fila y columna. Ordené mis variables $(x,y,z,w),$ el coeficiente de $x^2$ es una, para ocuparme de la fila superior y la columna izquierda he utilizado $(x + 2 * y + w)^2.$ A continuación, la variable $x$ ya no aparece en ninguna parte, y comenzamos el mismo proceso con la letra $y,$ donde necesitábamos un coeficiente de $-1$ para continuar. La forma cuadrática indicada por tu matriz es

$$ (x + 2 y + w)^2 - ( y - z + w)^2 + z^2 - w^2. $$ Esta tarea es bastante rápida, sin valores propios... más mecanografía en un minuto

Esto es ad hoc, escribí el cono nulo como $$ (x + 2 y + w)^2 - w^2 = ( y - z + w)^2 - z^2, $$ o la factorización de diferencias de cuadrados, $$ ( x + 2 y) (x+2y+2w) = (y+w)(y-2z+w). $$ Una forma de conseguirlo es exigir $$ y+w = 0; \; \; x=0 $$ que especifica un $2$ -plano en $\mathbb R^4,$ porque $(x+2y+2w)$ también se hace cero.

EDIT: unas horas más tarde. He garabateado algunas cosas. Hay infinitos 2-planos contenidos en este cono nulo. Tomemos cuatro números reales cualesquiera $A,B,C,D$ tal que $$ A^2 + B^2 = C^2 + D^2. $$ Hay un 2-plano contenido en el cono nulo abarcado por el $(x,y,z,w)$ vectores $$ (A-2B-2C+D, \; B+C-D, \; B, \; D ), $$ $$ (-2A-B+C+2D, \; A-C-D, \; A, \; C). $$

Hay una frase de geometría diferencial que va con esto: hay infinitos 2-planos que pasan por el origen y están contenidos en el cono sobre el toro de Clifford.