Convergencia de las series de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}z^n(5+e^{i\pi n})^n$ ?

Question

Consideremos la serie de potencias

$$\sum_{n=0}^{\infty}z^n(5+e^{i\pi n})^n \tag{1}.$$

Identificar $e^{i\pi n}$ como $(-1)^n$ para todos los números enteros $n$ pone de manifiesto el problema de utilizar el ratio tes t o el prueba de raíz para la convergencia de las series, ya que $(-1)^n$ fait no convergen, ¿verdad?

¿Cómo se puede determinar la convergencia de esta serie de potencias? ¿Existe?

¿Existe para algo más que $z=0$ ? ¿Puede determinarse fijando $(-1)^n=-1$ para todos $n$ y, por tanto, calcular el radio "más pequeño" o algo así?

Answer 1

Pongamos $a_n=(5+(-1)^n)z^n$ .

Tenemos $|4z|^n\le|a_n|\le |6z|^n$ por lo que la serie converge con seguridad siempre que $|z|<\frac 16$ y diverge con seguridad siempre que $|z|>\frac 14$

¿Qué pasa con los valores en el ring $\frac 16\le |z|\le\frac 14$ ?

Para demostrar que $r=\frac 16$ es el radio de convergencia real, sólo necesitamos exhibir un valor en la frontera del disco de convergencia que haga divergente la serie.

Obsérvese que no impide que la serie converja para otros valores de $z$ en el anillo en cuestión, pero el radio de convergencia se define como el mayor $r$ tal que la serie para $|z|<r$ tiene garantizada la convergencia.

Así que probamos con $z=\frac 16$ y como la serie es con todos los términos positivos podemos dividirla en $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac 46\right)^{2k+1}+\sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac 66\right)^{2k}$

La primera serie es convergente ya que es una serie geométrica con $\left(\frac 46\right)^2<1$ y la segunda es trivialmente divergente ya que sus términos son todos iguales a $1\not\to0$ .

Así, la serie para $z=\frac 16$ es divergente, y fija el radio de convergencia a su límite inferior.

Answer 2

Sí, $e^{i\pi n}=(-1)^n$ . Por lo tanto, su serie es $$6+4z+6^2z^2+4^3z^3+\cdots$$ Y, sí, puedes usar la prueba de la raíz aquí: $$\limsup_n\sqrt[n]{\left\lvert z^n\bigl(5+(-1)^n\bigr)^n\right\rvert}=6\lvert z\rvert.$$ Por lo tanto, el radio de convergencia es $\frac16$ .