Demostrar teoremas interesantes sobre S_n utilizando su tabla de caracteres.

Question

Hola, me pregunto si hay pruebas interesantes sobre $S_n$ (teórico de grupo o no) utilizando su tabla de caracteres. Utilizando la regla de Murnaghan-Nakayama se puede demostrar, por ejemplo, que para $n>4$ $A_n$ es el único subgrupo normal de $S_n$ porque no hay caracteres no lineales $x$ y $g$ (no 1) en $S_n$ con $ x(g)=x(1)$ ya que $x(1)>x(g) $ . ¿Conoce algún otro teorema no trivial sobre $S_n$ con una prueba utilizando su tabla de caracteres ?

Answer 1

En una respuesta a una pregunta anterior mostré cómo demostrar que la función de recuento de raíces cuadradas $r_2: S_n\rightarrow \mathbb{N},\;g\mapsto \#\{h\in S_n|h^2=g\}$ asume su máximo en la identidad, utilizando la teoría de representación de $S_n$ . Es cierto que hay que saber algo más que la tabla de caracteres. Tienes que ser capaz de calcular los indicadores de Frobenius-Schur de los caracteres, por lo que necesitas saber cómo se multiplican las clases de conjugación. Alternativamente, basta con saber que todas las representaciones están definidas sobre $\mathbb{R}$ que, de todas formas, se demuestra en el proceso de cálculo de la tabla de caracteres. En un comentario a mi respuesta, Richard Stanley señala que, utilizando también la teoría de la representación de $S_n$ se puede generalizar a la $k$ -enésima función de recuento de raíces para cualquier número entero positivo $k$ . En una respuesta a la misma pregunta, Alon Amit comenta posibles generalizaciones para resolver otras ecuaciones polinómicas en los elementos de $S_n$ .

Answer 2

No sé si lo considerará no trivial, pero a partir de la tabla de caracteres se puede demostrar muy rápidamente que el número de clases de conjugación de permutaciones pares es siempre mayor o igual que el número de clases de conjugación de permutaciones Impares.

Basta con aplicar el hecho general de que la suma de las entradas de cualquier fila de una tabla de caracteres (no ponderada por el tamaño de la clase de conjugación) es un número entero no negativo (porque el carácter $\chi ( \pi ) = \frac{\# S_n}{\# C_\pi}$ donde $C_\pi$ es el conjunto de conjugados de la permutación $\pi$ corresponde a una representación real, a saber, tomar un espacio vectorial con base $\{ e_\pi \mid \pi \in S_n\}$ y definir $g(e_\pi) = e_{g \pi g^{-1}}$ para $g \in S_n$ ) al carácter de signo.

Answer 3

Lo que sigue no es estrictamente algo que pueda leerse en la tabla de caracteres. Sin embargo, se trata de una identidad combinatoria elemental sobre particiones que se puede deducir a partir de la comprensión de la teoría de caracteres de grupos simétricos lo suficientemente bien, y mirando a la tabla de caracteres juega un papel central:

Para $\lambda \vdash n$ una partición de $n$ (es decir, $n = 1 \lambda_1 + 2 \lambda_2 + \cdots + n \lambda_n$ ) definir $$ A(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} n^{\lambda_n}, \qquad B(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} (\lambda_n)! $$ Reclamación: $$\prod_{\lambda \vdash n} A(\lambda) = \prod_{\lambda \vdash n} B(\lambda) $$

La prueba teórica de los caracteres procede como sigue:

1. Para un elemento de la clase de conjugación de $S_n$ indexado por la partición $\lambda$ su centralizador tiene cardinalidad $A(\lambda) B(\lambda)$ es decir, el número de elementos de la clase de conjugación es $$\frac{n!}{A(\lambda) B(\lambda)}$$
2. Tome la matriz de caracteres $M$ . Las relaciones de ortogonalidad nos dicen que un reescalado adecuado de la matriz de caracteres es ortogonal, por lo que tiene $\det = \pm 1$ . A partir de aquí, junto con 1 para hallar los factores de escala de las columnas, obtenemos $$ (\det M)^2 = \prod_{\lambda} A(\lambda) B(\lambda) $$
3. $M$ relaciona dos bases para los espacios de las funciones-clase: Los caracteres de irreps (indexados en la ordenación de Schur por particiones), y las funciones delta sobre clases de conjugación (indexadas obviamente por particiones). Para los grupos simétricos, existe una tercera base interesante: Para $\lambda \vdash n$ , dejemos que $$ S_\lambda = \prod_{i=1}^{n} S_i^{\lambda_i} $$ y considerar los caracteres de los reps inducidos $Ind_{S_\lambda}^{S_n} \mathbb{C}$ .
4. Consideremos la matriz de cambio de base que relaciona los caracteres de las repeticiones inducidas y las funciones delta sobre las clases de conjugación: La teoría sencilla de caracteres muestra que es triangular con entradas diagonales iguales a $B(\lambda)$ .
5. Considerar el cambio de matriz base relacionando caracteres de induces reps y caracteres de irreps: Conociendo cómo funciona la teoría de caracteres para grupos simétricos sobre $\mathbb{Z}$ (es decir, que ambos abarcan íntegramente), podemos demostrar que tiene determinante $\pm 1$ . Más concretamente, conociendo suficientemente bien la teoría de caracteres podemos demostrar que la matriz de cambio de base entre ellas es triangular superior con unos en la diagonal.

Juntando 2, 4, 5 obtenemos $$ \det(M)^2 = \prod_{\lambda \vdash n} A(\lambda) B(\lambda) = \left(\prod_{\lambda \vdash n} B(\lambda)\right)^2 $$ y así la identidad reclamada.

Answer 4

Como todas las entradas de la tabla de caracteres son enteros y no sólo enteros algebraicos, se obtiene que una prueba de que cada permutación $\sigma$ de orden $n$ es conjugado con todos $\sigma^j$ para $j$ coprimo a $n$ . (Por supuesto, esto se suele utilizar en sentido contrario, para deducir que todas las entradas son números enteros).