Por lo general, tales estimaciones requieren hiperbolicidad o algún tipo particular de sistema (rotaciones, IET y similares....).
Para sistemas generales es posible una estimación cuantitativa eficaz de la tasa de convergencia (aunque no exacta), siempre que el sistema esté dado de forma eficaz (véase J. Avigad, P. Gerhardy y H. Towsner, Local stability of ergodic averages, Transactions of the American Mathematical Society, 362 (2010), o 1 para una demostración muy breve de un resultado similar).
En tu pregunta me parece que estás interesado sobre todo en el comportamiento de los tiempos de golpe, y quizás en las rotaciones. Como ya se ha comentado en otra respuesta esto depende de las propiedades aritméticas de la rotación. Si la rotación tiene un ángulo bien aproximado por racionales puedes tener tiempos de acierto largos para ciertos intervalos (el tiempo que necesitas esperar para que el intervalo sea atizado es mucho mayor que el inverso de la longitud del intervalo). Los resultados cuantitativos de convergencia vienen dados por las llamadas estimaciones de "discrepancia", en función del tipo Diofantino del ángulo (son resultados clásicos que puedes encontrar en muchos libros). Si consideras rotaciones multidimensionales puedes tener comportamientos patológicos aún más fuertes del tiempo de acierto, pero no sé si esto te interesa.
