Versiones cuantitativas del teorema ergódico

Question

¿Existe algún teorema general similar al teorema ergódico de Birkhoff, pero que proporcione estimaciones cuantitativas sobre la tasa de convergencia o el tiempo medio de recurrencia (quizás con supuestos adicionales)? Tomemos el ejemplo de una "rotación irracional" en el círculo unitario: ¿existen estimaciones sobre el tiempo medio que tarda un punto en llegar a un determinado intervalo?

Sé que existen teoremas de este tipo para sistemas muy especiales (por ejemplo, para las cadenas de Markov tenemos la convergencia exponencial), pero ¿qué se puede decir de un sistema ergódico "genérico"?

Answer 1

La mejor estimación eficaz que conozco en general es el reciente e impresionante trabajo de Einsiedler-Margulis-Venkatesh. Proporcionan un decaimiento polinómico en el teorema ergódico (para flujos unipotentes y otros) en un conjunto de gran medida (realmente estimada) para cocientes de la mayoría de los grupos de mentira por celosías aritméticas.

Antes había cosas como ésta: para superficies hiperbólicas cerradas, el error para la media temporal del flujo horócico de longitud $T$ es algo como $S(f) T^{-\epsilon}$ donde $f$ es la función suave que estás promediando, $S(f)$ es una norma de Sobolev, y $\epsilon$ depende del espectro de la superficie. (En este caso, cada punto es genérico para el flujo horócico (por el teorema de Ratner), ¡y esta estimación efectiva es independiente del punto que utilices para la media!).

Véase el bonito estudio "An introduction to effective equidistribution and property (tau)", de Einsiedler, que se encuentra en su página web .

Me interesaría mucho cualquier estimación mejor para flujos en hiperbólicas aritméticas $3$ -manifolds dada la información sobre el campo de trazas, el álgebra de cuaterniones, etcétera.

Answer 2

Para el caso concreto que mencionas de una rotación irracional del círculo, depende del número de rotación $r$ . Se puede obtener una convergencia asintótica lenta para algo como $$r=\sum{10^{-n!}}$$ (y puedes seguir añadiendo signos factoriales para que la convergencia sea arbitrariamente lenta).

En el otro extremo del espectro está el número de rotación igual a la proporción áurea. En este caso se sabe que para un número de Fibonacci $q$ sólo tardará $q$ iteraciones para llegar a cada intervalo de la forma $[n/q, (n+1)/q]$ .

El comportamiento para un número irracional arbitrario se rige por su expansión de fracción continua. El libro de Milnor Dinámica en una variable compleja tiene una explicación clara.

Answer 3

El estudio "The rate of convergence in ergodic theorems" de A. G. Kachurovskii (Russian Math. Surveys 1996) enumera un buen número de resultados en este sentido que podrían interesarle. Incluye algunos resultados negativos: por ejemplo, si no recuerdo mal, para cualquier sucesión real positiva a _n =o(n) y cualquier sistema dinámico medible aperiódico, podemos encontrar una función medible f que tome sólo dos valores reales distintos con la propiedad de que las sumas ergódicas de f son o(n) pero no o(a _n ). Por otra parte, se presentan una serie de condiciones suficientes para que se cumplan las estimaciones de error polinómico en el teorema ergódico.

Answer 4

A. Leibman demostró un límite inferior cuantitativo para las medias $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \mu(A\cap T^{-n}A)$ en términos de $\mu(A)$ (nota: la suma comienza en $n=0$ ). El límite es $$ \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \mu(A\cap T^{-n}A) \geq \sqrt{\mu(A)^2+(1-\mu(A))^2} + \mu(A)-1 $$ para todos $N\geq 1$ cuando $T$ es una transformación que preserva la medida de un espacio de probabilidad, y éste es el mejor límite posible.

Answer 5

Dolpogyat ha demostrado tasas de convergencia para sistemas Anosov (véase #4 ici .)

Kac fue pionero en el estudio de los tiempos de recurrencia de los procesos estocásticos (véase ici ).