¿Torre Whitehead Functorial?

Question

En Torre Whitehead de un espacio (apuntado) es una torre de espacios que mata sucesivamente a los grupos homotópicos inferiores. Los dos primeros espacios pueden construirse functorialmente (al menos para espacios adecuadamente agradables) como la componente conexa y la cubierta universal.

¿Pueden construirse functorialmente los espacios restantes?

Para la situación dual la respuesta es sí. Es decir, para la Torre Postnikov donde tenemos una torre de espacios donde los grupos homotópicos inferiores están intactos, pero donde hemos matado a todos los grupos homotópicos superiores tiene una construcción functorial (de nuevo para espacios agradables). La construcción que conozco pasa por conjuntos simpliciales. Me pregunto si existe algo similar para la torre de Whitehead.

Answer 1

La enésima etapa de la torre de Whitehead de X es la fibra de homotopía del mapa de X a la enésima etapa (o así) de su torre de Postnikov, por lo que puede utilizar su construcción functorial de la torre de Postnikov más una construcción functorial de la fibra de homotopía (como la habitual que utiliza el espacio de trayectorias del objetivo).

La enésima etapa de la torre Whitehead de X es también el sustituto cofibrante de X en la localización Bousfield derecha de Top con respecto al objeto S n (más o menos). Como Top es correcto propio y celular esta localización existe por el resultado del capítulo 5 del libro de Hirschhorn sobre localizaciones de categorías modelo. Puedes mirar allí para ver cómo se construye el functor de sustitución cofibrante. Con un poco de cuidado deberías ser capaz de definir functorialmente los mapas en la torre también.

(BTW, la torre de Postnikov puede obtenerse de forma similar functorialmente mediante una localización de Bousfield izquierda de Top).

Answer 2

$X \leftarrow B\Omega X \leftarrow B^2 \Omega^2 X \leftarrow \ldots$

Answer 3

$W_{n+1}(X)$ es la fibra homotópica del mapa natural $W_n(X)\to K(\pi_n(X),n)$ por lo que todas ellas son functoriales.

Answer 4

Si tenemos una torre de Postnikov functorial de un espacio apuntado X, la torre hereda un punto base. Entonces tomamos la torre sobre la torre de Postnikov que es puntualmente la fibración del camino. Se trata de una fibración puntual. Si tiramos de esta torre a lo largo del mapa desde la torre constante de X, obtenemos una torre sobre X que, según el tratamiento general del artículo de Whitehead de 1952 (creo), es una torre de Whitehead para X.