¿Admite todo conjunto una relación binaria rígida? (¿y cómo se relaciona esto con el axioma de elección?)

Question

Digamos que un conjunto B admite una relación binaria rígida, si existe una relación binaria R tal que la estructura (B,R) no tiene automorfismos no triviales.

Según el axioma de elección, todo conjunto es bien ordenable, y como los bien ordenados son rígidos, según AC todo conjunto tiene una relación binaria rígida.

Mis preguntas son: ¿es cierto lo contrario? ¿Se necesita CA para producir estructuras tan rígidas? ¿Se trata de un principio de elección débil? ¿O se puede demostrar simplemente en ZF?

(Esta pregunta se deriva de la pregunta ¿Un tipo de estructura rígida que se puede poner en cada plató? .)

Answer 1

El teorema 2 del artículo de Vopenka-Pultr-Hedrlin asume el axioma de elección

Answer 2

Pregunta relacionada:

¿Es cierto que bajo ZF cualquier conjunto $X$ ¿admite alguna estructura rígida contable sobre ella? donde una estructura es un subconjunto de $\bigcup ({ P(X^n) : n< \omega }) $ (es decir, puede contener relaciones binarias, ternarias, etc.), y contable significa que existe una función inyectiva desde la estructura a $\omega$ .

Obviamente AC implica esto, y esto también lo implica todo conjunto que admita una relación binaria rígida.

Dada una estructura así, se puede interpretar como un grafo, pero entonces hay que añadir más vértices, así que no me queda del todo claro.