Encontrar la probabilidad de que el mensaje encuentre su camino a través de la red, por qué este enfoque no funciona.

Question

Los tres interruptores de la figura anterior funcionan de forma independiente. El conmutador 1 permite el paso de un mensaje con una probabilidad de 0,88, el conmutador 2 permite el paso de un mensaje con una probabilidad de 0,92 y el conmutador 3 permite el paso de un mensaje con una probabilidad de 0,90. ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje encuentre su camino a través de la red? ¿Cuál es la probabilidad de que un mensaje atraviese la red?

Esto es lo que tengo, un mensaje puede ir por la ruta con los interruptores 1 y 2 o por la ruta con el interruptor 3. Si va por la ruta de los interruptores 1 y 2 entonces ambos deben estar funcionando para que el mensaje pase. Esto me da la probabilidad de que el mensaje pase por la ruta superior como $P(1 \cap 2) = .88 * .92 = .8096$ Entonces, la probabilidad de que un mensaje encuentre su camino a través de la red será:

$$P(3\cup(1 \cap 2)) =$$ $$P(3\cup 1)\cap P(3\cup2) =$$ $$(P(3)+P(1)-P(3\cap1)) * (P(3)+P(2)-P(3\cap2))=$$

Así que mi libro tiene la respuesta como .98096, mientras que el enfoque que se muestra arriba me da .980096. ¿Supongo que esto lo hace incorrecto? ¿Podría alguien explicar por qué no funciona?

Answer 1

Usted asumió erróneamente que los acontecimientos $3\cup1$ y $3\cup2$ son independientes; pero no lo son. Por lo tanto no se pueden multiplicar sus probabilidades para obtener $P\bigl((3\cup1)\cap(3\cup2)\bigr)$ .

Answer 2

El mensaje llegará si pasa con éxito por la ruta superior, por la inferior o por ambas. Hay un truco muy útil en los problemas de probabilidad para evaluar estos problemas de "o":

\begin{align} P(\text{Either top route or bottom route}) &= 1 - P(\text{Neither route})\\ &= 1 - P(\text{Top route fails})\times P(\text{Bottom route fails}) \end{align}

Ahora, también tenemos que $P(\text{Top route fails}) = 1 - P(\text{Top route succeeds})$ y $P(\text{Bottom route fails}) = 1 - P(\text{Bottom route succeeds})$ . Has calculado correctamente la probabilidad de éxito de la ruta superior, y se da la probabilidad de éxito de la ruta inferior. ¿Puede continuar a partir de aquí?

Answer 3

El método para resolver este problema supone tener en cuenta lo siguiente

• 1 y 2 son acontecimientos independientes
• 1 y 3, así como 2 y 3 son acontecimientos dependientes.
• $\mathbb{p(\mathsf{(1 \cap 2)\complement}\cap 3\complement)=p(1 \cap 2)\complement\space * p(3)\complement}$

Este último dato sólo puede conocerse observando el diagrama. Puesto que $( 1\space \cap \space 2)\complement$ o la probabilidad no toma el camino superior no afecta a la probabilidad de $C$ o $C\complement$ (si un mensaje toma o no un camino inferior), lo que significa que el mensaje puede no pasar entonces podemos aprender la probabilidad de que el mensaje pase tomando la intersección de los complementos que son eventos independientes y aplicándole la regla del complemento o

$$ 1-{p(1 \cap 2)\complement\space * p(3)\complement} $$

Esto sólo no se aplicaría si se dijera que la probabilidad de que el mensaje se entregue es de 1,0 y que un mensaje debe tomar el camino superior o el inferior.

Sin embargo, como la pregunta se refería a la probabilidad de que se envíe un mensaje, podemos suponer que la probabilidad no es 1,0 y que existe una tercera opción en la que el mensaje no toma ninguno de los dos caminos.