De Euler-Lagrange, Gradiente de la pendiente, Ecuación del Calor y de la Imagen de eliminación de ruido

Question

Para una imagen de eliminación de ruido problema, el autor tiene una funcional $E$ define

$$E(u) = \iint_\Omega F \;\mathrm d\Omega$$

que se quiere minimizar. $F$ se define como

$$F = \|\nabla u \|^2 = u_x^2 + u_y^2$$

A continuación, el E-L ecuaciones se derivan:

$$\frac{\partial E}{\partial u} = \frac{\partial F}{\partial u} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \frac{\partial F}{\partial u_x} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dy} \frac{\partial F}{\partial u_y} = 0$$

A continuación, se menciona que el gradiente de descenso método se utiliza para minimizar el funcional $E$ mediante el uso de

$$\frac{\partial u}{\partial t} = u_{xx} + u_{yy}$$

que es la ecuación del calor. Entiendo ambas ecuaciones, y se han resuelto la ecuación del calor numéricamente antes. También he trabajado con funcionales. No entiendo, sin embargo, como el autor salta de la E-L ecuaciones para el método de gradiente de la pendiente. Cómo es el tiempo de la variable $t$ incluido? Cualquier detallada de la derivación, la prueba de esta relación sería bienvenida. He encontrado algunos artículos en la Red, el uno por Colding et al. parecía prometedor.

Referencias:

http://arxiv.org/pdf/1102.1411 (Colding et al.)

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.1675&rep=rep1&type=pdf

http://dl.dropbox.com/u/1570604/tmp/functional-grad-descent.pdf

http://dl.dropbox.com/u/1570604/tmp/gelfand_var_time.ps (Gelfand y Romín)

Answer 1

Debe tener en cuenta que una solución, $f$, a su ecuación diferencial, $\mathcal{L}[f] = 0$, es el estado de equilibrio de la solución de la segunda ecuación, como $\partial_t f = 0$. Convirtiendo esto en una ecuación parabólica, sólo el término de error dependerá $t$, y se deteriorará con el tiempo. Esto puede ser visto por dejar que

$$h(x,y,t) = f(x,y) + \triangle f(x,y,t),$$

donde $f$ es como antes. Entonces

$$\mathcal{L}[h] = \mathcal{L}[\triangle f] = \partial_t \triangle f$$

En general, este método hace que las ecuaciones susceptibles a la minimización de las rutinas como steepest descent.

Edit: Ya que usted menciona que quería un libro de referencia, cuando yo estaba tomando el análisis numérico, se utilizó v. 3 de Numérico de las Matemáticas y la Computación por Cheney y Kincaid, y la he encontrado muy útil. Aunque, en los puntos que se carecía de profundidad, sin embargo, es siempre un buen punto de partida. También tienen un matemáticamente más en profundidad libro de análisis Numérico: las matemáticas del cálculo científico que puede ser útil para usted, que no he leído.

Answer 2

Esto es esencialmente una cuestión de definiciones. La mayor descenso de gradiente de flujo de un funcional $F$ en un producto interior espacio de $S(M,N)$ (por ejemplo) es una familia de $u:M\times [0,T)\rightarrow N$ que satisface $$ \partial_t F = - \lVert u_t \rVert^2. $$ Por ejemplo, supongamos $\Sigma$ es una superficie inmerso en $\mathbb{R}^3$ (por simplicidad) a través de una inmersión $f:M\rightarrow\mathbb{R}^3$ y considerar la Willmore funcional $$ \mathcal{W}(f) = \frac{1}{2}\int_M H^2 d\mu, $$ donde $H$ es la media de la curvatura de $M$. Queremos calcular a partir de este funcional, la Willmore flujo, que es la más pronunciada de descenso de gradiente de flujo en $L^2(M,\mathbb{R}^3)$. Para ello, se calcula la primera variación de $\mathcal{W}$ a lo largo de las variaciones normales de $f$ (Willmore funcional es invariante bajo tangencial diffeomorphisms, (entre otras cosas) que son esencialmente reparametrisations).

Ahora, cualquier punto crítico de la funcional tendrá cero de la primera variación. Este es un simple hecho, de los básicos de cálculo. La ecuación de la "primera variación = 0" es el de Euler-Lagrange ecuación. Es una condición necesaria para que todos los mínimos puntos de la funcional debe satisfacer, aunque no es en general suficiente.

De Euler-Lagrange ecuación es $$ \Delta H + H|a^o|^2 = 0, $$ donde $A^o$ es el tracefree segunda forma fundamental. Una explicación detallada de cómo uno se deriva de esta ecuación se puede encontrar en la parte posterior de la Geometría de Riemann por Willmore. Cualquier inmersión, para satisfacer esta ecuación es un punto crítico de la Willmore funcional y se llama Willmore de la superficie.

Por último, supongamos que tenemos una familia de un parámetro de inmersiones $f:M\times[0,T)\rightarrow\mathbb{R}^3$ satisfactorio $$ \partial_t^\asesino f = \Delta H + H|a^o|^2. $$ A lo largo de esta familia de inmersiones que hemos $$ \partial_t\mathcal{W} = -\int_M |\Delta H + H|a^o|^2|a^2 d\mu, $$ y así es, por definición, la más pronunciada de descenso de gradiente de flujo de $\mathcal{W}$$L^2$. Generalmente uno no molestarme en escribir todo eso (o de ella) y se va directamente a partir de Euler-Lagrange operador en alguna función de espacio para el flujo de gradiente, ya que es tranquilo, sencillo.