¿Se trata de un error en la electrodinámica de Griffiths?

Question

Compruebe el problema 3.43 en Griffiths Introducción a la Electrodinámica

Una esfera conductora de radio $a$ en potencia $V_0$ está rodeada por una fina envoltura esférica concéntrica de radio $b$ sobre la que alguien ha pegado una carga superficial $\sigma(\theta)=k\cos(\theta)$ donde $k$ es una constante y $\theta$ es el ángulo polar.

A continuación, pide encontrar el potencial en el $r>b$ y $a<r<b$ . La respuesta que ofrece el libro es: $V(r, ) = \frac{aV_0}{r} + \frac{(b^3 a^3)k \cos }{3r^2 \epsilon_0}, r b,$

$V(r, ) = \frac{aV_0}{r} + \frac{(r^3 a^3)k \cos }{3r^2 \epsilon_0}, r b$

Crédito: Griffiths, David J. Introducción a la Electrodinámica (p. 162). Cambridge University Press. Edición Kindle .

Resolución para la región entre los discos: utilización de la condición de contorno $V(a,\theta)=V_0$ encontramos que: $$V(a,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{(A_la^{l}+\frac{B_l}{a^{l+1}})P_l(\cos\theta)}=V_0$$ Desde $V_0$ es una constante y, por tanto, no tiene $\theta$ concluimos que el único término de la serie debe ser el que tiene $l=0$ para garantizar que el lado izquierdo de la ecuación no tiene términos en $\cos \theta$ . Así pues, en resumen, consideramos que: $$A_0+\frac{B_0}{a}=V_0$$ y por lo tanto el potencial tiene la forma $$V(r,\theta)=A_0+\frac{a(V_0-A_0)}{r}$$ pero esto obviamente no satisfará la forma dada por la respuesta en el libro, ya que debe tener un $\cos \theta$ término y, por supuesto, el $A_l$ y $B_l$ son constantes. Probablemente estoy en un error, pero no veo exactamente dónde. Por favor, ayuda.

Answer 1

Desde $V_0$ es una constante y, por tanto, no tiene $\theta$ concluimos que el único término de la serie debe ser el que tiene $l=0$ ...

Esto implica que

$$A_la^l+\frac{B_l}{a^{l+1}}=0$$

para $l>0$ . No implica que $A_l=B_l=0$ .