Trayectorias de un sistema de segundo orden con valores propios reales negativos

Question

Consideremos el sistema de segundo orden $$ \dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} $$

$a_1$ y $a_2$ son números reales positivos, con $a_1 > 2*a_2$ .

La matriz A es la siguiente $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a_2 & -a_1 \\ \end{pmatrix} $$

Los valores $a_1$ y $a_2$ se eligen de forma que la matriz $A$ tiene vectores propios reales negativos.

Lo que realmente me interesa: ¿Existe una fórmula analítica (paramétrica) para las trayectorias del espacio de estados de este sistema?

Answer 1

Sí. Verificar por diferenciación $$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0).$$ Esta fórmula es cierta independientemente de los valores propios del sistema, pero es obviamente ilimitada si los valores propios son inestables. Para obtener la exponencial matricial se pueden resolver los valores propios paramétricamente y calcular todo analíticamente para este caso de 2x2.