Functores Lax y equivalencia de bicategorías?

Question

Los functores laxos de las bicategorías se introdujeron en los inicios de las bicategorías, y estoy intentando conocerlos mejor. Son iguales que los funtores 2 ordinarios, pero sólo se requiere la existencia de un morfismo de coherencia, no de un isomorfismo. El ejemplo básico que estoy viendo es cuando se tiene un functor laxo de la bicategoría singleton a una bicategoría B. Estos son sólo objeto b en B con una mónada T en B.

Mi pregunta: Si tengo una equivalencia de bicategorías A ~ A', ¿obtengo bicategorías equivalentes de functores laxos Fun(A, B) y Fun(A', B)? Si no, ¿existe alguna relación entre estas dos categorías?

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Así que permítanme ser más preciso en la terminología que estoy utilizando. Quiero examinar los functores laxos de A a B. Son más generales que los functores fuertes/pseudo y mucho más generales que los functores estrictos. Para un functor lax tenemos un mapa como este:

$ F(x) F(g) \to F(fg)$

para un funtor fuerte o pseudo funtor este mapa es un isomorfismo, y para un funtor estricto es una identidad. No me importan los funtores estrictos.

Supongo que estos forman una bicategoría Fun(A,B), con el 1-morfismo siendo algún tipo de transformación natural laxa, etc, pero realmente no sé acerca de esto. ¿Hay varias posibilidades razonables?

Cuando dije equivalencia entre A y A' lo que quería decir era que tenía un functor fuerte F:A --> A' y un functor fuerte G a la inversa, y entonces equivalencias (no isomorfismos) FG = 1, y GF = 1. Esto me parece la noción débil más razonable de equivalencia, pero tal vez soy ingenuo.

No he pensado en equivalencias usando functores laxos. ¿Serían automáticamente fuertes? Lo que realmente quiero entender es qué tipo de functorialidad tienen las bicategorías de funtores laxos Fun(A, B).

Answer 1

En primer lugar, para cualesquiera dos bicategorías A y B, existe una bicategoría $Fun_{x,y}(A,B)$ donde x puede denotar functores fuertes, laxos u oplax, e y puede denotar transformaciones fuertes, laxas u oplax. No hay ningún problema en definir y componer transformaciones lax y oplax entre functores lax u oplax, y la laxidad/oplaxidad ni siquiera tiene que coincidir. También es cierto que dos funtores x son equivalentes en una de estas bicategorías si son equivalentes en cualquier otra. Es decir, cualquier transformación laxa u oplax que sea una equivalencia es en realidad fuerte/pseudo.

Los problemas surgen al intentar componer los functores. Se pueden componer dos funtores x y obtener otro funtor x, pero en general no se puede susurrar una transformación y con un funtor x a menos que x = fuerte, no importa lo que sea y, y además si y no es fuerte, entonces falla la ley de intercambio. Por tanto, sólo se obtiene una tricategoría con homs $Fun_{x,y}(A,B)$ si x=y=fuerte. (En particular, creo que esto significa que no hay una buena noción de "equivalencia de bicategorías" que implique functores laxos).

Para un functor fuerte fijo $F\colon A\to A'$ se puede componer y batir con él para obtener un functor $Fun_{x,y}(A',B) \to Fun_{x,y}(A,B)$ para cualquier x e y. Sin embargo, no ocurre lo mismo con las transformaciones $F\to F'$ y la respuesta a su pregunta es (quizá sorprendentemente) ¡no! Las dos bicategorías no son equivalentes.

Consideremos, por ejemplo, A la bicategoría terminal (un objeto, un 1-morfismo, un 2-morfismo) y A' el isomorfismo de vida libre, considerado como una bicategoría con sólo 2-células de identidad. El funtor obvio $A' \to A$ es una equivalencia. Sin embargo, un funtor laxo de A a B es una mónada en B, y un funtor laxo de A' a B consiste en dos mónadas y un par de "bimódulos" convenientemente relacionados. Si algún functor laxo de A' es equivalente a uno inducido por composición desde A (recuérdese que la "equivalencia" no depende del tipo de transfomación), entonces en particular las dos mónadas serían equivalentes en B, y por tanto también lo serían sus objetos subyacentes. Pero cualquier adjunción en B cuya unidad sea un isomorfismo da lugar a un functor laxo fuera de A', si tomamos las mónadas como 1-morfismos de identidad, los bimódulos como los adjuntos izquierdo y derecho, y los mapas de estructura bimodular como el conde y el inverso de la unidad. Y por supuesto podemos tener adjunciones entre objetos no equivalentes.

Por cierto, creo que su significado de "equivalencia" para las bicategorías es cada vez más estándar. En la literatura tradicional este tipo de equivalencia se llamaba "biequivalencia", porque para las 2-categorías estrictas hay tipos de equivalencia más estrictos, en los que se requiere que los funtores sean estrictos, o que los dos compuestos sean isomorfos a identidades en lugar de meramente equivalentes a ellas, o ambas cosas. Sin embargo, estas nociones más estrictas no tienen mucho sentido para las bicategorías. Por ejemplo, en una bicategoría general, ni siquiera los morfismos de identidad 1 son isomorfismos, así que si la "equivalencia" exigiera que FG fuera isomorfo a la identidad, ¡una bicategoría general ni siquiera sería equivalente a sí misma!

Answer 2

Me sorprendió (y encantó) descubrir que la respuesta es no. He aquí un ejemplo; de hecho, es un caso especial del ejemplo al que se refería Mike, pero elaborado con más detalle.

Sea S un conjunto y cd(S) la categoría codiscreta sobre S (Hom(x, y) = - para cada x e y en S). Sea BSet la bicategoría de un objeto correspondiente a la categoría monoidal (Conjunto, ×). Como se ha señalado aquí en el nlab , un funtor laxo cd(S) → BSet es el mismo dato que una categoría con el conjunto de objetos S. Sin embargo, hay una trampa: los morfismos (ya sean transformaciones laxas o naturales fuertes) no son sólo funtores entre categorías que fijan los objetos. En cambio, si C y D son categorías correspondientes a dos functores laxos cd(S) → BSet, entonces un morfismo (X, F) de C a D consiste en

• para cada objeto s de S, un conjunto X(s),
• para cada par de objetos s y t de S, un mapa F(s, t) : C(s, t) × X(t) → X(s) × D(s, t),
• de forma que se cumplan las leyes obvias de identidad y composición.

Dependiendo de la noción de transformación natural que se quiera tomar, el mapa F(s, t) puede ser un isomorfismo, o puede ir en sentido contrario. Consideraré las tres posibilidades simultáneamente.

Podemos componer 1-morfismos: la composición (Z, H) de (X, F) e (Y, G) tiene Z(s) = X(s) × Y(s), y H formado a partir de F y G de manera obvia. El morfismo identidad tiene X(s) = - y F(s, t) = id.

También tenemos 2-morfismos de (X, F) a (Y, G), que son familias de mapas X(s) → Y(s) que hacen que algunos diagramas que implican X, F, Y, G conmuten.

Esto no parece ser todavía ningún 2-categoría familiar. Extraigamos el 2-grupoide máximo tomando sólo 1- y 2- morfismos invertibles. (Los 2-morfismos invertibles son aquellos en los que los mapas X(s) → Y(s) son isomorfismos. Para que (X, F) sea invertible, primero necesitamos para cada s, un objeto Y(s) y un isomorfismo X(s) × Y(s) = -. Eso sólo puede ocurrir si X(s) = - para cada s. (Ésta es la única propiedad de (Conjunto, ×) que realmente me importa: no tiene objetos invertibles además de -.) Ahora F es sólo un functor ordinario C → D que es la identidad sobre objetos, y para que (X, F) sea invertible F necesita ser un isomorfismo. Cuando (X, F) e (Y, G) son invertibles, de modo que X(s) = Y(s) = -, hay como mucho un 2-morfismo entre ellos, exactamente cuando F y G son iguales como mapas C(s, t) → D(s, t). En conclusión, el 2-groupoide máximo contenido en la 2-categoría de functores laxos cd(S) → BSet es el 1-groupoide de categorías con conjunto objeto S e isomorfismos que fijan los objetos. Nótese que para el argumento no importa qué noción de transformación natural elija.

Ahora bien, como S varía sobre conjuntos no vacíos, estos groupoides resultantes son categorías no equivalentes. Sin embargo, seguramente las 2-categorías cd(S) son todas equivalentes bajo cualquier definición razonable, ya que son 1-categorías equivalentes.