Así que, (mucho de esto está en la página de Wikipedia enlazada en los comentarios anteriores), si establecemos $$x=t-\frac{b}{3a} ..[1]$$ entonces $g(x)$ se convierte en $G(t)=t^3+pt+q$ donde $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$ y $q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$ .
Proporcionado $4p^3+27q^2<0$ tiene tres raíces reales dadas por $k=0, 1, 2$ en $$t_k=2\sqrt{\frac{-p}{3}}\cos\left(\frac13\cos^{-1}\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{-p}}\right)-\frac{2\pi k}{3}\right) ...[2]$$
Entonces la integral de G(t) pasa a ser $$F(t)=\frac{t^4}{4}+\frac{pt^2}{2}+qt$$ que sólo diferirá de f(x) en una constante. Suponiendo $a>0$ cualquier deducción sobre qué raíz da el valor mínimo para F(t) se traducirá en la misma conclusión para f(x).
Queda por evaluar F(t) en cada una de las raíces de G(t). Como sólo nos interesa el valor mínimo, sólo tenemos que considerar la raíz más baja y la más alta, que vienen dadas respectivamente por $k=2$ y $k=0$ en [2]. (Esto puede establecerse reconociendo que si $\theta = \frac13\cos^{-1}\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{-p}}\right)$ entonces $0< \theta < \frac{\pi}{3}$ ).
Por definición, en una raíz de G(t), $t^3 = -pt-q$ y así en las raíces, podemos mostrar $$F(t_k)=\frac{t_k}{4}(pt_k+3q).$$ Los dos valores de interés son $F(t_2)$ y $F(t_0)$ . Una vez que haya establecido cuál de ellos es menor, puede traducir el valor relevante de t en un valor para x utilizando [1] y evaluar f(x) allí.
Dado $0< \theta < \frac{\pi}{3}$ es posible demostrar que $$F(t_2)>F(t_0)$$ $$\Leftarrow\Rightarrow \cos(\theta-\frac{4\pi}{3})+\cos(\theta)+\cos(3\theta)>0$$ $$\Leftarrow\Rightarrow \theta<\frac{\pi}{6}$$ $$\Leftarrow\Rightarrow q<0.$$
Así que, poniéndolo todo junto, si $q<0$ es decir, si $$2b^3-9abc+27a^2d<0 $$ entonces el valor mínimo viene dado por $$f(t_0-\frac{b}{3a})$$ y si $$2b^3-9abc+27a^2d>0 $$ entonces el valor mínimo viene dado por $$f(t_2-\frac{b}{3a})$$
