Cómo demostrarlo $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n}\left(1+\frac{1}{n}-x\right)^n$ converge uniformemente.

Question

Demostrar que la siguiente serie funcional converge uniformemente para cualquier $x$ de $E$ . $$\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x),\ \ \ u_n(x)=\frac{x}{n}\left(1+\frac{1}{n}-x\right)^n,\ \ x\in E=[0;1]$$

Intenté usar la prueba M de Weierstrass. Hice lo siguiente: $$|u_n(x)|\leqslant \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=a_n$$ Sin embargo, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ diverge. Por lo tanto, tengo que encontrar otra solución. Tal vez pueda encontrar $v_n(x):|u_n(x)|\leqslant v_n(x)$ donde $\sum_{n=1}^{\infty}v_n(x)$ converge uniformemente. Sin embargo, hasta ahora no lo he conseguido.

Answer 1

Sugerencia

Si nos fijamos en la derivada de $u_n(x)$ , encontrará que $\vert u_n(x) \vert$ tiene un máximo en $x_n = \frac{1}{n}$ . Como usted ha $u_n(\frac{1}{n})=\frac{1}{n^2}$ y $\sum \frac{1}{n^2}$ converge se obtiene el resultado como consecuencia de la prueba M de Weierstrass.

Answer 2

No es difícil demostrar que $u_n$ alcanza su máximo a $\frac1n$ . Además de $$u_n\left(\frac1n\right)=\frac1{n^2}.$$ Desde la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ converge

Answer 3

$u_n(x)$ también puede estimarse utilizando la desigualdad entre la media geométrica y la aritmética: $$0 \le n^2 u_n(x) = (nx) \left(1+\frac{1}{n}-x\right)^n \le \left( \frac{nx + n(1+\frac 1n - x)}{n+1} \right)^{n+1} \le 1 \, .$$