Varianza de la media de las muestras de una distribución desconocida

Question

Tengo un montón de muestras IID de una variable aleatoria con media y varianza desconocidas. Ahora necesito saber la varianza de la media de estas muestras.

He encontrado algunas referencias. En orden decreciente de utilidad: 1 , 2 , 3 . Estos dan una fórmula para la varianza en términos de la varianza de la distribución original. Lo que no he podido encontrar es una solución directa para el caso de que la distribución original tenga una varianza desconocida. Este pregunta similar puede ser útil, pero no estoy seguro de cómo aplicarlo.

Lo primero que se me ocurre es intentar utilizar la varianza de la muestra como estimación de la varianza de la población. Mi pregunta es, ¿es esa la forma correcta de hacerlo? En caso afirmativo, ¿cómo corrijo las diferencias? Si no es así, ¿cuál es la forma correcta?

Answer 1

La pregunta que crees que puede ser "similar", no lo es, porque se refiere principalmente a la distribución/varianza de la varianza de la muestra sí mismo .

No se puede conocer la varianza de la media muestral (es decir, de la "media de estas muestras"; supongo que por "muestra" se entiende una única observación) porque depende de un parámetro normalmente desconocido (la varianza poblacional). Así que, efectivamente, lo que puedes hacer es utilizar en su lugar la varianza estimada, es decir, la varianza de la muestra, corregida por el sesgo:

$$s^2 = \frac1{n-1} \sum(x_i-\bar x)^2, \;\; E(s^2) = \sigma^2$$

En cuanto a la pregunta

¿Cómo corrijo las diferencias?

La respuesta es "no se puede", y ese es el sentido de las estadísticas. Si se pudiera "corregir cualquier diferencia", implicaría que ya se conoce la verdadera varianza, ¿no es así?