¿Qué es el $\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi_l(\sigma)}$ ?

Question

¿Qué significa lo siguiente?

$$\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi_l(\sigma)}$$

$\sigma\in {\rm Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ y $\chi_l:{\rm Gal}(\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q)\to\mathbb Z_l^{\times}$ y $\zeta$ es cualquier $l^n$ -enésima raíz de la unidad, ¿cómo se exponentiza esa cosa?

Conozco el grupo de Galois, el carácter ciclotómico l-ádico y las acciones de grupo en general.

Answer 1

Si $\zeta$ es un $l^n$ -ésima raíz de la unidad, entonces $a^{\chi_l(\sigma)}=a^{\chi_l(\sigma) \pmod{l^n}}$ donde utilizamos el mapa de proyección $\Bbb Z_l^\times \to (\Bbb Z/l^n\Bbb Z)^\times$ .